По мнению выпускников, задание № 11 — самое сложное в первой части ЕГЭ по математике. Из-за… производной! Но на самом деле задание можно решить, зная только 2 алгоритма. А еще нас ждет совет, позволяющий не использовать алгоритмы и экономить время.
Почему задания на производную решает только 40% выпускников?
Потому что производную проходят только в середине 11 класса, когда уже активно идет подготовка к ЕГЭ по другим темам. Из-за этого школьники не успевают ее отработать. Иногда производную могут и вообще не пройти. Остается только изучать эту тему самостоятельно.
Задание №11 может быть всего двух типов:
1) нужно найти точку максимума или минимума функции;
2) нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции.
Их можно решить с помощью простых алгоритмов. Нужно лишь запомнить их и выучить таблицу производных.
Сначала нужно понять, что именно от нас хотят. Многие ученики путают понятия «точка максимума / минимума» и «наибольшее / наименьшее значение». Точка экстремума – это Х, а наибольшее или наименьшее значение – это У. Как не запутаться? Если ты видишь слово-маркер «точка», то речь идет об Х, если его нет, то речь об У.
Поиск точек экстремума
Начнём с поиска точек экстремума. Чтобы провести анализ функции, необходимо определить основные этапы. У функции есть точки экстремума, в них производная равна нулю. Единственный способ определить, является ли данная точка точкой максимума или минимума – это определить знаки производной до и после неё. Если знак производной меняется с «–» на «+», то это будет точка минимума, а если с «+» на «–», то точка максимума. Порядок действий будет следующим:
1) находим производную,
2) находим точки экстремума: приравниваем производную к нулю и решаем уравнение.
3) Рисуем ось, отмечаем на ней корни. Сверху описываем производную, а снизу саму функцию.
4) Находим знаки производной в интервалах между корнями. Для этого подставляем удобные числа из интервалов в производную.
5) Определяем вид каждого экстремума:
- точка минимума: переход с «-» на «+»,
- точка максимума: переход с «+» на «-».
Данному алгоритму подчиняются абсолютно все задания, в которых нужно найти точки экстремума.
Поиск наибольшего или наименьшего значения функции
Перейдём ко второму прототипу. Его можно отличить даже визуально, потому что кроме функции будет ещё и промежуток, ограничивающий функцию в точках a и b [a; b]. Так как мы про эти точки ничего не знаем, их придётся дополнительно учитывать. В остальном начало этого алгоритма будет совпадать с предыдущим. Начинать всегда будем именно с точек экстремума, потом проверим, как ведёт себя функция в каждой точке экстремума, а также в начале и конце заданного промежутка, и в итоге запишем в ответ нужное значение функции.
Алгоритм нахождения наибольшего/наименьшего значения функции на [а; b]:
1. Находим производную, приравниваем к нулю и находим точки экстремума.
2. Считаем значение исходной функции в:
- начале промежутка
- конце промежутка
- в экстремумах, лежащих в [а; b] (если есть).
3. Выбираем нужное значение. В ответ значение функции.
Как не использовать алгоритмы и экономить время?
Рассмотрим на примерах. Но сначала нужно учесть, что это работает не на абсолютно всех заданиях. Наш совет опирается на знание формата экзамена. В 11-м задании ответ может быть записан только на клеточках бланка. Соответственно, чего в этих клеточках не может быть? Очевидно, что бесконечную дробь, буквы 𝑒, ln(…), log(…), 𝜋, sin𝑥, бесконечность и прочие знаки мы не сможем записать. Это очень сильно упрощает нам задачу.
Разбираем лайфхак на примере
Для выполнения этого задания нужно знать таблицу производных и немного порассуждать логически. Если пойти по алгоритму, то придётся брать производную от e в степени (x-9), а производная от данной функции будет равна тому же самому. И получается, что мы не можем избавиться от символа, которого просто не может быть в ответе.
Или можем? Есть замечательная степень, которая превращает любое основание в единицу — это 0. Так, мы можем избавиться от е, если представим её степень (х – 9) равной нулю. Получается х – 9 = 0, тогда х = 9.
Но единственный ли это способ избавиться от «е»? Нет, так как есть ещё один множитель – скобка. Ее можно занулить, тогда занулится и всё произведение. Получим 10 – х = 0, тогда х = 10. Но не стоит забывать, что найти нас просят наименьшее значение функции, поэтому теперь подставим найденные х в исходную функцию.
При х = 9 получаем 1, а при х = 10 получаем 0. Видим, что значение 0 меньше, чем 1, а значит, именно его пишем в ответ. Обратите внимание, что оно достигается при х = 10, поэтому критично важно учитывать как степень экспоненты, так и множитель-скобку.
Вывод:
- учим производную,
- пользуемся алгоритмами,
- не забываем про лайфхаки и аккуратно применяем их!
Мы запустили двухнедельный тест-драйв нашей онлайн-платформы! Самое то, чтобы познакомится с нами получше!
+7 (3822) 99‒56‒54
https://maximumtest.ru/garantiya-kachestva