Двойные интегралы – это обобщение понятия определённого интеграла для функции двух переменных, заданной как z = f(x, y).
Для вычисления двойного интеграла численным методом существует несколько методов. В приложении используем метод ячеек. Формула для вычислений по этому методу имеет вид:
где Sij = h1 · h2 — площадь ячейки, xi = (xi−1 + xi)/2, yj = (yj−1 + yj )/2 — координаты центра ячейки. Справа в выражении стоит интегральная сумма, которая для любой непрерывной функции f(x, y) сходится к значению интеграла.
Для создания интерфейса понадобятся элементы для ввода ссылок на адреса ячеек для:
- ввода нижнего предела х;
- ввода верхнего предела х;
- ввода нижнего предела у;
- ввода верхнего предела у;
- задания формулы функции;
- текущих значений х;
- текущих значений у;
- адреса вывода результата.
Форма пользователя с размещенными элементами может выглядеть как на рис. 1
Все свойства помещенных элементов можно посмотреть непосредственно в прилагаемом файле программы. Код программы представлен на рис. 2.
На рабочий лист поместим кнопку для вызова формы.
Примеры решения задач
Случай прямоугольной области
Пример 1.
Пусть требуется вычислить двойной интеграл
где
Аналитическое вычисление этого интеграла дает результат 9/4, т.е. 2,25. Подготовим на рабочем листе макет для вычислений, примерный вариант которого изображен на рис. 3.
Кнопкой Открыть форму откроем пользовательскую форму и заполним все поля для ссылок на ячейки, как показано на рис. 3.
После вычислений получим результат 2,25 (рис. 3), что соответствует аналитическому решению.
Пример 2.
Требуется вычислить интеграл
где
Аналитическое решение дает результат Ln (4/3) т.е. 0,287682
Макет для вычисления на рабочем листе выглядит, как на рис. 4.
Вызовем форму, заполним ее поля и включим режим выполнения, результат показан на рис. 4.
Полученный результат 0,28767698 совпадает с аналитическим решением до четвертого знака.
Случай треугольной области
Пример 3
Вычислим интеграл
где D{(x,y) 0 <= x<= 1, 0<= y <=1-x
Аналитическое решение дает результат 7/24 = 0,291667.
Макет для вычисления на рабочем листе выглядит, как на рис. 5.
Вызовем форму, заполним ее поля и включим режим выполнения, Результат 0,2875939 показан на рис. 5.
Случай криволинейной области
Пример 4
Вычислим интеграл
где D{(x,y) 0<= x<= 2, -4+x^2 <= y <= 4-x^2
Аналитическое решение этого двойного интеграла дает результат 10,66667.
Макет для вычисления на рабочем листе приведен на рис. 5. Полученный результат 10,667599999, совпадает с аналитическим решением до третьего знака. Точность решений можно улучшить, уменьшив шаг интегрирования.
Файл с приложением можно скачать здесь.