Ранее были сформулированы операции над нечеткими отношениями (см. ссылку), в этом материале представлена особая операция над бинарными нечеткими отношениями - композиция (суперпозиция).
В результате изучения материалов текущей лекции предполагается, что Обучающийся узнает, как определяется композиция бинарных нечётких отношений, а также каковы её отличия от других бинарных операций над бинарными нечёткими отношениями.
Напомним определение бинарного нечёткого отношения (учитывая, что Обучающийся знаком с понятием декартового произведения):
Обратим ещё раз внимание на то, что первое из бинарных нечётких отношений задано на декартовом произведении универсальных множеств I1 на I2, а второе бинарное нечёткое отношение задано на декартовом произведении универсальных множеств I2 на I3,
тогда композиция (суперпозиция) этих бинарных нечётких отношений будет задана на декартовом произведении универсальных множеств I1 на I3.
Далее указаны основные расчётные формулы для определения функции принадлежности композиции, наиболее распространёнными являются максиминная (она в списке под номером 1) и max- prod-композиция (под номером 3 в списке).
Заметим, что при формулировании бинарных операций над бинарными нечёткими отношениями обязательным условием было, чтобы использующиеся бинарные нечёткие отношения были заданы на одном и том же декартовом произведении двух универсальных множеств.
В случае с композицией обязательным является условие, чтобы второе универсальное множество декартового произведения, на котором задано первое бинарное нечёткое отношение, совпадало с первым универсальным множеством декартового произведения, на котором задано второе бинарное нечёткое отношение.
Множества I1 и I3 могут быть совершенно отличных мощностей и даже природы элементов, из которых они состоят.
Рассмотрим пример вычисления композиции бинарных нечётких отношений.
Для этого возьмём задачу в области выбора профессии.
Такая задача решается путём построения нечёткой модели, основанной на двух бинарных нечетких отношений.
Причём первое бинарное нечеткое отношение задано на декартовом произведении множеств Х и У, а второе - на декартовом произведении множеств Y и Z.
Рассмотрим, за что отвечают перечисленные множества Х, У и Z:
На следующем рисунке представлены элементы множеств Х, У и Z.
Заметим, что вместо тех элементов во множествах Х и Z можно было указать другие специальности и других кандидатов на обучение.
Пусть бинарное нечёткое отношение R, описывающее психо-физиологическое профилирование специальностей, содержит значения функции принадлежности, которые указаны в виде таблицы ниже.
Значения интерпретируются следующим образом: чем выше значение функции принадлежности к единице, тем выше требования к наличию соответствующей психо-физиологической характеристики для соответствующей специальности.
Значения таблицы, как и пример, взяты из книги Александра Леоненкова "Нечёткое моделирование в среде Матлаб и fuzzyTECH".
Значения функции принадлежности бинарного нечёткого отношения S, описывающего психо-физиологическое профилирование кандидатов на обучение, указаны в виде таблицы ниже.
Значения интерпретируются следующим образом: чем выше значение функции принадлежности к единице, тем выше та или иная психо-физиологическая характеристика у кандидата на обучение.
В результате вычисления операции композиции мы получим новые значения функции принадлежности нового бинарного нечёткого отношения, которые будут характеризовать, насколько соответствующий кандидат подходит на обучение по соответствующей специальности, естественно, чем ближе значение к единице, тем больше соответствует.
Рассмотрим, каким образом получается одно из значений функции принадлежности.
Для расчёта используем максиминную композицию.
Получим результирующее значение новогобинарного нечёткого отношения, являющегося композицией бинарных нечётких отношений R и S, для упорядоченной пары «Менеджер, Петров», т.е. установим, насколько кандидат Петров по психо-физиологическим характеристикам подходит на обучение по профессии «Менеджер»:
Для этого берем первую строку бинарного нечёткого отношения R и первый столбец бинарного нечёткого отношения S,
каждому из десяти элементов строки покомпонентно соответствует единственный элемент из столбца,
сначала определяем минимальные значения из этих двух соответствующих элементов, затем берем максимум из десяти полученных минимальных значений.
В результате можно сказать, что Петрову по психо-физиологическим характеристикам почти идеально подходит специальность "Менеджер".
Ниже показаны значения функции принадлежности композиции бинарных нечётких отношений R и S, вычисляемые по максиминной формуле.
При этом заметим, например, что кандидат Иванов является подходящей кандидатурой на получение специальности Менеджера и Секретаря, а Васильева менее всего подходит для профессии «Секретарь».
Ниже показаны значения функции принадлежности композиции бинарных нечётких отношений R и S, вычисляемые по формуле (max-prod)-композиции.
Правильность вычислений предлагается проверить самостоятельно читателям.
При этом заметим, например, что кандидат Иванов по-прежнему является подходящей кандидатурой на получение специальности Менеджера или Секретаря, а Васильева менее всего подходит для профессии «Секретарь».
Применительно к рассматриваемому примеру можно сделать вывод о том, что совокупность психо-физиологических характеристик позволяет установить взаимосвязь между профессиями и кандидатами для обучения.
В качестве Упражнения 1 предлагается рассчитать следующие композиции:
В качестве Упражнения 2 предлагается придумать свои варианты множеств X , Y и Z, а также рассчитать максиминную и (max-prod)- композиции.