Сегодня рассмотрим задание №4380 из банка тестовых заданий для ЕГЭ ФИПИ. Это задание «повышенного» уровня сложности.
Напоминаю, для подписчиков предусмотрена возможность получения решений в «вордовском» .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками.
Кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
Решите уравнение:
Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку:
Рассуждаем
Общий принцип решения тригонометрических уравнений состоит к сведению их к стандартным простым формам, выписывание общего решения по готовым формулам, и потом отборе корней, попадающих в заданный отрезок.
В данном случае уравнение содержит три «сложных» момента – функция косинуса находится в квадрате, сам косинус взят от суммы аргументов, а под знаком синуса стоит двойной угол. Следовательно, начинать надо с перехода к функциям от простого аргумента (используя формулы приведения и формулу двойного угла), а потом – преобразовать уравнение так, чтобы избавиться от квадрата.
Напомним требуемую формулу приведения:
Хорошая формула, в уравнении уже есть один синус, значит, мы, скорее всего, на верном пути.
Формула двойного угла:
Получается, что после замены у нас будет сумма, в обоих членах которой есть функция синуса – её можно будет вынести за скобки, разложив на множители левую часть уравнения.
Далее, поскольку правая часть нулевая, решение распадётся на совокупность (произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю). Одно из уравнений совокупности решается сразу по готовой формуле, а во втором – получится многочлен из синуса и косинуса. Алгебраическими преобразованиями такой многочлен можно привести к стандартному тригонометрическому уравнению с тангенсом (не забыть при делении потребовать неравенство нулю делителя), и также выписать решение по готовой формуле.
Останется отобрать решения, попадающие в заданный отрезок. Для этого будет удобно привести и сам отрезок и общие решения к общему знаменателю.
План решения
- Преобразуем функцию косинуса с помощью формулы приведения, а функцию синуса – с помощью формулы двойного аргумента.
- Вынесем общий множитель за скобки.
- Произведение, равное нулю, разложим в совокупность уравнений.
- Стандартное уравнение с синусом решим по готовой формуле.
- Второе уравнение алгебраическими преобразованиями приведём к стандартному уравнению с тангенсом, и решим его по готовой формуле.
- Приведём границы отрезка и общие решения к общему знаменателю, и выберем решения, попадающие в отрезок.
Решение.
Исходное уравнение:
Косинус преобразуем по формуле приведения, а синус – по формуле двойного угла:
Выносим синус и коэффициент 2 за скобки:
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получим совокупность, в которой синус можем расписать по готовой формуле:
В первом уравнении переносим косинус вправо:
Делим первое уравнение на косинус (и учтём, что он не должен быть нулевым):
По готовой формуле получаем решение первого уравнения:
В первой системе неравенство можно исключить, поскольку оно не влияет на решение уравнения. Получаем ответ:
Отбираем корни. Приведём для удобства к общему знаменателю:
На отрезке:
В результате получаем множество, которое пойдёт в ответ:
Замечание
Для того, чтобы проверить решение, построим график функции:
Метки оси абсцисс поставим через π/2. Границы заданного отрезка обозначим пунктиром:
Как видим, график пересекает ось абсцисс в указанных трех точках.