С тем, что такое размерность пространства, в котором мы живём и работаем, более или менее понятно — её можно охарактеризовать числом параметров, необходимых для однозначного определения положения и состояния объектов этого пространства. А вот что такое размерность объекта? Как правильно рассуждать о двумерных или трёхмерных объектах?
Специалисты в разных разделах математики станут отвечать на этот вопрос по-разному. Мы сегодня подойдём к нему, как физики, используя следующие наблюдения:
Увеличивая длину тонкой проволоки вдвое, мы вдвое увеличиваем её массу. Если мы в два раза увеличим размеры листа жести, то его масса вырастет уже в четыре раза -- вместе с площадью. Цельно-металлический шар или параллелепипед, увеличенные в два раза по размерам, станут весить уже в восемь раз больше. Отсюда делаем выводы о размерности соответствующих объектов. Масса проволоки пропорциональна первой степени её длины, значит, проволока — это одномерный объект. Масса плоской фигуры, вырезанной из листовой жести изменяется, как квадрат от её масштаба, плоские фигуры двумерны. Объёмные фигуры имеют размерность 3, и их масса пропорциональна кубу масштаба фигуры.
Описываемая таким образом размерность называется размерностью Хаусдорфа, её можно посчитать, измерить или оценить.
Про размерность можно составить любопытную задачку:
Девочка Алёнка сшила для своей куклы Маши красивое платье с кармашками, и так оно Алёнке понравилось, что она решила сшить и себе такое же. Кукла Маша меньше девочки в 5 раз. Во сколько раз больше потребуется Алёнке материала и ниток на платье для себя, и во сколько раз больше конфет поместится в кармашках алёнкиного платья, по сравнению с машиными?
Ткань существенно двумерна, так что её количество пропорционально квадрату масштаба. Значит, Алёне нужно запастись в 25 раз большим количеством материала. А вот швы и нитки в швах одномерны, так что ниток на пошив уйдет лишь в пять раз больше. В то же время, объёмные кармашки станут больше в целых 125 раз! И если в кармашки куклы едва влезало четыре жёлтых витаминки, то в свои новые кармашки Алёнка сможет всыпать по 500 штук! Кстати, размеры дырочек от иголки в ткани при увеличении платья не увеличатся, что говорит о том, что они являются точечными объектами нулевой размерности.
Но есть в нашем мире такие странные объекты, хаусдорфова размерность которых выражается не натуральным числом, а дробным. Это значит, что при увеличении всего объекта в 𝑛 раз, его масса (или иная мера) увеличится в 𝑛ᵃ раз, где 𝑎 — это какое-то дробное число: 3/2, например. Такие объекты называются фрактальными.
Обычно тут же начинают рассуждать о самоподобии фракталов, но это вовсе не обязательная их характеристика. Самоподобие позволяет точно вычислить размерности некоторых из них, но не является определяющим свойством, в отличие от дробной размерности. Например, в случае проволочной всюду негладкой кривой Коха, её самоподобие гарантирует, что троекратно увеличенная кривая содержит четыре точные копии этой же фигуры.
Следовательно, увеличение в три раза приводит к тому, что масса (или какая-то ещё мера) такой фигуры увеличится вчетверо. В какую степень следует возвести 3, чтобы получить 4? На этот вопрос отвечает логарифмическая функция: log₃4 ≈ 1,262. То есть, масса кривой Коха растёт пропорционально степени log₃4 от её размеров. Это и есть её дробная размерность. Это уже не линия, но и не плоская фигура... что-то такое... мятое, пушистое.
Мы с ребятами на математическом кружке решили что мятая бумага тоже может быть фрактальным объектом, хоть и не самоподобным. И это можно проверить прямым экспериментом: для этого нужно скомкать листы бумаги различных размеров, измерить размеры комков и сопоставить с массой (площадью) исходных листов, найдя показатель пропорциональности. Причём, для того чтобы мы могли назвать комканную бумагу настоящим фракталом, этот показатель должен оставаться постоянным в широком диапазоне масштабов. В противном случае, это уже просто непонятный мусор, размерность которого зависит от размеров. Ерунда какая-то!
Понятно, что размеры скомканной как попало бумаги будут случайной величиной. Но разве это остановит экспериментатора! Это лишь повод поупражняться в наборе статистики. Каждый из ребят взял лист писчей бумаги формата А4, разделил его пополам, одну половину тщательно скомкал, а со второй проделал ту же процедуру — разделил пополам, одну половину смял, другую продолжил делить. Так каждому удалось получить последовательность из 5 комочков, масса которых составляет убывающую геометрическую прогрессию с показателем 1/2. Особенность формата А состоит в том, что деление пополам по длинной стороне листа сохраняет пропорции, а значит, на каждом делении мы получаем геометрически подобные копии исходного листа. С квадратными листами, к примеру, так бы уже не вышло и комки чётных и нечётных итераций могли бы отличаться по внутренней структуре.
Теперь нужно измерить размеры комков. Они кривые и не изометричные. Так что размеры каждого комка измерялись в трёх направлениях, и в таблицу заносилось их среднее геометрическое. Почему так? Для почти изометричных объектов с размерами 𝑎, 𝑏, 𝑐 в трёх взаимно перпендикулярных направлениях, среднее геометрическое ∛(𝑎𝑏𝑐) характеризует размеры куба того же объёма, то и измеряемый объект. Такой размер называется эффективным. Измеряли мы ученическими линейками, с военно-морским прищуром и с точностью до пары-тройки миллиметров. В итоге получилась таблица с шестью рядами по 13 значений (в опыте участвовало 13 ребят) и для каждого ряда мы вычислили среднее значение размера комочка.
Дальше — дело техники. Мы построили график зависимости веса от размера в логарифмическом масштабе и обнаружили, что точки неплохо легли на прямую, наклон которой оказался больше двух, но меньше трёх. Подбор показал, что он равен 2,45.
После такого чудесного эксперимента, фрактальные комки отправились в урну! Причём, теперь мы знаем, что увеличив урну вдвое, мы сможем кинуть в неё 2^(2,45) ≈ 5,5 раз больше скомканной бумаги.
Мы, конечно же, не первые исследователи мятой бумаги. В разные годы выходили научные статьи в серьёзных журналах, в которых публиковались результаты по этой животрепещущей теме. Первая найденная мною работа была опубликована бразильцем Марселло Гомесом в 1987 году с результатом 2,5 (кстати, эта короткая статья оказалась чуть длиннее моей заметки). Теперь известно, что шарики смятой бумаги, картона или фольги имеют размерность от 2,3 до 2,7, тогда как произвольная линия, нарисованная на листе бумаги сами после сминания образует фрактал с размерностью около 1,6. А если серьёзно, то такие исследования нужны, например, для понимания упаковки длинных цепочек молекул в полимерных материалах, белковых структурах и при разработке наноматериалов и поверхностных катализаторов.
В конце занятия мы постарались найти ещё какие-нибудь настоящие (не обязательно самоподобные) фракталы в нашей жизни: деревья (дендритовые структуры, горные и речные системы), облака, снег, береговые линии и т.д.