ДОКАЗАТЕЛЬСТВА - это валюта математики, но Сриниваса Рамануджан, один из величайших математиков всех времен, часто удавалось их пропустить. Теперь найдено доказательство связи, которую он, казалось, таинственным образом интуитивно ощущал между двумя типами математических функций.
Доказательство углубляет интригу, связанную с работой загадочного ума Рамануджана. Это также может помочь физикам узнать больше о черных дырах , хотя эти объекты были практически неизвестны при жизни индийского математика.
Рамануджан родился в 1887 году в Эроде, штат Тамилнад, был самоучкой и работал почти в полной изоляции от математического сообщества своего времени. Описанный как необузданный гений, он независимо заново открыл многие существующие результаты, а также внес свой собственный уникальный вклад, полагая, что его вдохновение пришло от индуистской богини Намагири. Но он также известен своим необычным стилем, часто переходящим от понимания к пониманию без формального доказательства логических промежуточных шагов. «Его идеи относительно того, что представляет собой математическое доказательство, были самого туманного описания», - сказал профессор Г. Х. Харди, наставник Рамануджана и один из его немногих коллег поддерживающих его идеи и мысли.
Несмотря на странности, работы Рамануджана часто оказывались пророческими. Уже сегодня исполняется 135 лет со дня его рождения. Сами исследования Рамануджана побудили математика Кена Оно из университета Эмори в Атланте, штат Джорджия, который ранее обнаружил скрытые смыслы в работах Рамануджана, еще раз взглянуть на его записные книжки и письма. «Я хотел вернуться и доказать что-то особенное», - говорит Он. Он остановился на обсуждении в последнем известном письме, написанном Рамануджаном профессору Г.Х. Харди, относительно типа функции, ныне известной как модульная форма.
Функция - это уравнения, которые могут быть нарисованы в виде графиков на оси, например синусоидальной волны, и выдавать выходные данные при вычислении для любого выбранного входного сигнала или значения. В письме Рамануджан записал несколько совершенно новых функций. Они выглядели непохожими ни на какие известные модульные формы, но он заявил, что их результаты будут очень похожи на результаты модульных форм при вычислении для корней из 1, таких как квадратный корень -1. Характерно, что Рамануджан не предложил ни доказательств, ни объяснений этому выводу( это в его духе, также он поступал при обучении в Кембриджском университете, профессора были очень недовольны этим).
Только 20 лет назад математики формально определили этот другой набор функций, который теперь называется макетными модульными формами. Но до сих пор никто не понял, что имел в виду Рамануджан, говоря, что два типа функций дают одинаковые результаты для корней из 1.
Теперь Кен Оно и его коллеги точно вычислили одну из ложных модульных форм Рамануджана для значений, очень близких к -1. Они обнаружили, что выходные данные быстро увеличиваются до огромных 100-значных отрицательных чисел, в то время как соответствующая модульная форма увеличивается в положительном направлении.
Команда Кена Оно обнаружила, что если сложить соответствующие результаты вместе, общее количество приближается к 4, что является относительно небольшим числом. Другими словами, разница в значении двух функций, игнорирующих их знаки, является крошечной при вычислении для -1, как и сказал Рамануджан.
Результат подтверждает невероятную интуицию Рамануджана, говорит Кен Оно. В то время как Рамануджан смог вычислить значение модульных форм, он никак не мог бы сделать то же самое для макетных модульных форм, как сейчас у Кена Оно. «Я вычислил это, используя теорему, которую я доказал в 2006 году», - говорит Кен Оно, который представил свое понимание на конференции Рамануджана 125 в Гейнсвилле, штат Флорида, 10 лет назад. «Непостижимо, что у него была эта интуиция, но она должна быть».
Вычисление ценности модульной формы, когда она раздувается, сравнимо с тем, чтобы потратить монету в определенном магазине, а затем предсказать, в каком городе эта монета окажется через год.
Угадать разницу между обычными и ложными модульными формами еще более невероятно, говорит Кен Оно, как потратить две монеты в одном магазине, а затем предсказать, что они будут очень близки через год.
Хотя Кен Оно и его коллеги теперь построили формулу для вычисления точной разницы между двумя типами модульной формы для корней из 1, Рамануджан не мог знать формулу, которая вытекает из основы современной математики, созданной после его смерти.
«У него были какие-то магические трюки, которые мы не понимаем», - говорит Фримен Дайсон из Института перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси.
В то время как модульные формы в основном связаны с абстрактными проблемами, формула Оно может найти применение при вычислении энтропии черных дыр.
Так окажется ли работа Кена Оно последней из работ Рамануджана? «Меня так и подмывает сказать это», - говорит Кен Оно. «Но я не удивлюсь, если я ошибаюсь».
Связь с черной дырой
Новая формула, вдохновленная таинственной работой Сриниваса Рамануджана, может улучшить наше понимание черных дыр.
Разработанная Кеном Оно, формула относится к типу функции, называемой макетной модульной формой. Эти функции теперь используются для вычисления энтропии черных дыр. Это свойство связано с поразительным предсказанием Стивена Хокинга о том, что черные дыры испускают излучения.
«Если у Кена Оно есть действительно новый способ охарактеризовать макет модульной формы, то, несомненно, это будет иметь значение для нашей работы», - говорит Атиш Дабхолкар, физик-теоретик изучающий черные дыры во Французском национальном центре научных исследований в Париже. «Макетные модульные формы будут появляться все чаще и чаще в физике по мере улучшения нашего понимания».