Теорема Птолемея в школьной геометрии обычно проходит незамеченной (хотя чего уж там, даже мега-имбищи типа теорем Чевы, Менелая - и то знают не все, к сожалению).
А можно ли использовать теорему Птолемея без доказательства на ЕГЭ?
Ответ: да, можно.
Вообще, если отойти от чисто решения одной задачи и обратиться к правилам ЕГЭ, то и во всех официальных источниках, и в выступлениях Ященко, всегда звучит одно незыблемое правило: теоремой можно пользоваться без доказательства, если эта теорема есть в школьном учебнике из федерального перечня учебников (ФПУ).
Если следовать этому правилу, то теорема Птолемея действительно есть в учебнике Мерзляка за 8 класс.
Как проверить?
А вот тут начинается самое странное и непонятное. В федеральном перечне учебников - черт ногу сломит (и как и со многими нашими законами).
Раньше был удобный ресурс, посвященный ФПУ: https://fpu.edu.ru
И все бы прекрасно, но с выходом нового ФПУ в сентябре 2022 - его не обновили и подзабили на него (надеюсь, про него вспомнят и обновят базу).
Поэтому можно пойти через официальные источники. Находим Приказ от 21.09.2022 № 858 "Об утверждении федерального перечня учебников, допущенных к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования организациями, осуществляющими образовательную деятельность и установления предельного срока использования исключенных учебников". Иии... эпик фейл, там нет Мерзляка)))
Можно расстроиться, можно подумать, что "все блогеры врут!". А можно перечитать еще раз начало этого приказа и выяснить, что новый Приказ - это ДОПОЛНЕНИЕ к старому Приказу, и действие учебников из прошлого ФПУ продлено до 2025 года.
Ну что ж, ищем тогда предыдущий Приказ от 20.05.2020 № 254 "Об утверждении федерального перечня учебников, допущенных к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования организациями, осуществляющими образовательную деятельность".
И вот тут, наконец-то есть тот самый учебник Мерзляка за 8 класс по геометрии (всего лишь на 102й странице):
Ну и теперь идем в сам учебник Мерзляка, и среди других прочих теорем - находим нужную нам теорему Птолемея:
Итак, после долгих поисков - мы убедились, что теоремой Птолемея можно пользоваться на ЕГЭ без доказательства.
А КАК ЕЩЕ МОЖНО?
А теперь из интересного и очевидного-невероятного.
Я осенью 2022 проходила обучение ФИПИ для экспертов ЕГЭ. И Семенов при разборе заданий 13 и 16 сказал... что можно пользоваться любыми геометрическими фактами, если они правильные, не обращая внимания на наличие этого факта в ФПУ.
Как к этому относиться? Да фиг знает. С одной стороны, это может открыть дорогу олимпиадникам наконец спокойно решать задачи по геометрии, а не думать о том "а можно ли использовать этот факт или нельзя в решении".
Плюс это наконец уравнивает тех, кто решает параметры, и кто решает геометрию. Ведь в параметрах ученики, как правило, используют способы, которые вообще непонятно, где искать в ФПУ. Если в параметрах можно - то почему в геометрии не сделать также?
С другой стороны - мы знаем много примеров "передергивания" на местах любых указаний (то аббревиатура "ОДЗ" оказывается под запретом из-за страхов учителей, то еще что).
При этом самое "скользкое" в этом - то, что это слова Семенова из закрытого обучения, к которому мало у кого был доступ. Непонятно, как ссылаться на это...
Поэтому я бы в итоге для себя (и своих учеников) придерживалась следующей позиции:
важно держать баланс между "максимально подробным расписыванием всего" и "чтоб эксперты в целом понимали, что ты делаешь в решении задачи". Т.е. если какой-то факт известен ученику - пусть этим пользуется (без оглядки на ФПУ). Если есть время доказать это на экзамене - пусть доказывает. Если нет времени (а у тех, кто идет на 90+, как правило этого времени вечно не хватает) - то оставлять без доказательства. Апелляция все расставит на места, в случае чего.
В общем. С теоремой Птолемея официально - разобрались.
Есть еще какие-то теоремы/факты по геометрии, которыми страшно пользоваться?)