Странным образом, первый пост и статья на этом канале не столько о математике, сколько о дураках. Впрочем, почему бы и нет?
Невежество в научных вопросах, как и в математике, не то чтобы необычное дело, да и не то чтобы я бы его ругал и наказывал. Не каждый обязан что-то там знать, даже если это касается достаточно очевидных вещей в какой-то области знаний.
Однако, существует воинственное невежество. И подобное, я уверен, многие встречали. И хочу поделиться примером воинственного невежества одного кумира людей определенной политической ориентации. Но мы не будем здесь обсуждать саму "ориентацию", мы будем говорить только про человека - Фридриха Энгельса.
Вообще, несмотря на то что Энгельс считается философом, если вы попробуете почитать его книги, у вас появится ощущение, что пишет это скорее классический псевдоинтеллектуальный комментатор, высмеивающий тролль. В отличие от многих других философов, Энгельс не будучи ученым, позволял себе очень прямые высказывания насчет науки и даже некоторые споры с учеными и наукой. Но меня, как математика, прежде всего интересует то, что он писал о математике и о ближайших к ней наукам. А написал он удивительно много. Потому в этой части возьмём только произведение с незамысловатым названием Анти-Дюринг. Где Энгельс троллирует, собственно, Дюринга. Но важнее какие мысли пытается донести сам Энгельс, и главное какие аргументы он использует. Давайте для начала обратимся к его пониманию бесконечности:
Вечность во времени, бесконечность в пространстве уже по самому смыслу слов означают просто то, что нет конца ни в какую сторону, ни вперед, ни назад, ни вверх, ни вниз, ни вправо, ни влево. Эта бесконечность совсем иного порядка, чем бесконечность бесконечного ряда, ибо последняя всегда начинается прямо с единицы, с первого члена. Неприменимость этого представления о ряде к нашему предмету обнаруживается сейчас же, как только мы попытаемся применить его к пространству. Бесконечный ряд в приложении к пространству означает линию, проведенную от определенной точки в определенном направлении до бесконечности. Но выражает ли это хотя в отдаленной мере бесконечность пространства? Нисколько: нужны, наоборот, целых шесть проведенных из этой точки в трех противоположных направлениях линий, чтобы охватить измерения пространства, которых в таком случае мы имели бы шесть. Кант понимал это так хорошо, что он лишь кружным путем, косвенно, применил свой числовой ряд к вопросу о пространственности мира. Господин же Дюринг заставляет нас принять шесть измерений в пространстве, что, впрочем, не мешает ему немедленно же после этого выражать величайшее негодование по поводу математического мистицизма Гаусса, не желавшего довольствоваться обычными тремя измерениями пространства.
Давайте разбираться. Во-первых, со времён древних греков простейшая бесконечность, представленная в математике, была бесконечностью натуральных чисел. То есть начинающаяся с "одного конца". Вымышленная связь с пространством, это на самом деле только фантазия Энгельса. С чего пространство (и время) оказывается даже не просто связанным, но является основным ориентиром в построении понятия бесконечного Фридрих толком не объясняет.
Он лишь подмечает некое кажущееся свойство бесконечности в пространстве - двусторонность, на чем затем и строит свои рассуждения.
Надо сказать, Анти-Дюринг впервые издавалась в 1878 году. При этом труды Георга Кантора о мощности теории множеств, где он впервые вводит понятие мощности множества вышла за 4 года до этого. И не то чтобы Энгельс обязан был прочесть эту работу. Просто на этот момент, математика, и в частности, бесконечность как понятие внутри нее, прошла уже довольно долгий путь. Кантор не на пустом месте придумал теорию множеств. И на фоне математики 19 века, довольно развитой, рассуждения по типу "бесконечность должна быть двусторонней, потому что пространство" выглядят примерно также, как и сейчас - очень примитивно.
В принципе легко и до Кантора математикам было понятно, что множество натуральных чисел, имеющих начало, и множество целых чисел, у которых начала нет — это два множества с одинаковым количеством элементов. То есть, есть начало или нет его это совершенно не важно с точки зрения количества. Достаточно заменить порядок.
... -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ...
0 -1 1 -2 2 -3 3 -4 4 -5 5 ...
У этой возможности можно найти разве, что только выдуманные препятствия, как любят делать различного рода деятели лженауки.
Кантор в своей работе уже строго вводит понятие мощность множества через взаимно-однозначное соответствие. Что даёт легко показать, что целые числа и числа натуральные равномощные. Или что положительные действительные числа и все действительные числа тоже равномощные.
Более того, равномощны евклидово трехмерное пространство, о котором говорит Энгельс, и множество действительных чисел. То есть направления и тп, для бесконечности как количества на самом деле не значат ничего. При этом Кантор показывает куда более важную разницу между бесконечностью пространства и бесконечностью, которую мы видим в последовательностях, а именно - мощность непрерывного множества действительных чисел больше, чем мощность счетных чисел. Но Энгельсу это не важно. Он обращает внимание только на двусторонность, которая как раз никакого значения не имеет.
Однако, даже и без этой равномощности, мы видим, как легко двусторонняя бесконечность становится односторонней, просто сменой порядка. На момент написания Энгельса этих строк это достаточно очевидная вещь. Понятное дело, что бесконечность, описанная с некоторого начала проще для анализа и построения, чем бесконечность, у которой начала нет. А математика строится на сведении более сложного к более простому. Даже сам Энгельс говорит о том, что можно построить, но просто от этого отмахивается.
Из абсолютно неверной посылки Энгельс делает абсолютно неверный вывод. Для пространства нужно шесть координат! Ну надо сказать, всегда можно задать больше координат чем требуется, это ничего не доказывает. Но для задания координат на оси используются числа, которые бесконечные "в обе стороны", действительные числа. Так что вывода такого просто не следует, даже если принять посылку о какой-то фундаментальной разнице односторонней и двусторонней бесконечности. Не говоря о том, что никакого значения не имеет какое количество координат в пространстве, к тому, что называется бесконечностью. Шесть их, восемь, пятьдесят, что это даёт? То, что Дюринг не прав? Но делает ли это правым Энгельса? Энгельс утверждает, что бесконечность, которую он называет бесконечностью ряда, неприменима для пространства. Однако, даже если нужно ввести несколько координат, это все равно будет значить что она применима.
Энгельс продолжает свое рассуждение:
В применении к времени бесконечная в обе стороны линия или ряд единиц имеют некоторый образный смысл. Но если мы представим себе время как отсчитываемую от единицы или исходящую от некоторой определенной точки линию, то мы этим уже заранее утверждаем, что время имеет начало: мы предполагаем как раз то, что мы хотим доказать. Мы придали бесконечности времени односторонний, половинчатый характер; но односторонняя, половинчатая бесконечность представляет тоже внутреннее противоречие, прямую противоположность «бесконечности, мыслимой без противоречия». Мы можем справиться с этим противоречием, лишь допустив, что единица, от которой мы начинаем считать ряд, точка, от которой мы измеряем далее линию, представляют собою любую единицу в ряду, любую точку на прямой, так что для линии или ряда безразлично, куда мы поместим начальный пункт.
Как и в примере с пространством для времени можно взять действительные числа, что не имеют начала. Можно также взять только положительные действительные числа. С чего Энгельс считает, что ктото придал бесконечности времени обязательно половинчатый характер совершенно неясно. Собственно, его даже не обязательно считать неограниченным, взяв например время на неком отрезке.
Никакого противоречия Энгельс не указывает, он просто говорит что оно есть. Односторонняя или двусторонняя все суть одна бесконечность, и даже если это не так, ничего не мешает нам считать, что их существует две разных. Вообще противоречие не может содержаться в одном лишь понятии. Противоречие может быть в утверждении, или нескольких утверждений. Либо понятие может противоречить каким-то наперед заданным правилам и задавать тем самым пустое множество объектов. Здесь можно было сказать, что логика 19 века была все-таки достаточно ограниченной, но последователи Энгельса до сих пор используют те же аргументы, и тоже самое понимание как должна строится система понятий.
В конце Энгельс сам даёт ответ на свой вопрос, хотя и весьма криво. В самом деле, можно выбрать некую точку отсчета, но допускать что это "любая" точка на прямой, не есть необходимость. Достаточно взять произвольную точку за точку отсчёта, допущений тут никаких не нужно. Ну разница между "любой" и "существует" действительно не очень проста, потому не будем сильно к этому придираться.
Ведь ясно: бесконечность, имеющая конец, но не имеющая начала, не более и не менее бесконечна, чем бесконечность, имеющая начало, но не имеющая конца. Малейшая крупица диалектического мышления должна была бы подсказать господину Дюрингу, что начало и конец неразрывно связаны между собою, как северный полюс и южный полюс, и что если отбрасывают конец, то начало становится концом — тем единственным концом, который и имеется у ряда, и наоборот. Вот эта ошибка была бы невозможна без математической привычки оперировать над бесконечными рядами. Так как в математике мы должны исходить от определенного, конечного, чтобы прийти к неопределенному, бесконечному, то все математические ряды — положительные и отрицательные — должны начинаться с единицы, иначе нельзя производить с ними выкладок. Но идеальная потребность математики далеко не есть принудительный закон для реального мира.
Первая часть сей цитаты — это попытка лингвистической игрой победить мозг читателя. Якобы от смены начала и конца бесконечность перестанет быть бесконечностью, ведь появится конец! Конечно, на самом деле "бесконечность" это просто название. Исторически опять же появившееся из-за того, что первоначально рассматриваемые бесконечности — это именно те самые натуральные числа 1 2 3 4 5 и тд. То есть последовательности что имеют начало, но не имеют конца. Но, в сущности, развернуть бесконечность в другую сторону ничего не поменяет, это вопрос лишь выбора порядка, а также удобства. Какая тут проблема может возникнуть - совершенно неясно. От переопределения порядка, бесконечное количество, не станет конечным. И «неразрывная связь», на которую с чувством полного превосходства указывает Энгельс, на самом деле просто является зависимостью именования от порядка. Так же как неясно в чем состоит "математическая привычка". С единицы обязаны начинаться ряды? Нет, не обязаны. Просто те, что не начинаются с какого-то числа, можно свести к тем, что начинаются.
Рассуждения в контексте бесконечности о реальном мире в некотором роде смешны. Изначально бесконечность воспринималась как мысленный конструкт, до определенной степени абстракция. Ну, конечно, я на самом деле не сторонник того, что бесконечность как-то более нереальна чем число 2, например. Но, это совершенно не даёт никакого основания для спекуляций о реальном мире. Любая математическая модель требует какой-то конкретной интерпретации. Вне этой интерпретации эта модель ничего для реальности не значит, и никаких выводов делать нельзя. Но это уже вопросы эпистемологии, которая в 19 веке действительно была довольно не проработана. Да и сама книга была написана до кризиса математики и до кризиса естественных наук. Но стоит отметить, что сама «идеальная потребность» просто выдумка Энгельса, как и то, что идеальную бесконечность кто-либо из математиков или физиков переносил на реальность.
Ряды должны с чего-то начинаться. Энгельс, похоже, считает что то, что рассматриваемые популярно числовые последовательности начинающийся с 1, или с 0, это дело "привычки", которая следует из числовых рядов. На самом деле, как я выше сказал это скорее вопрос удобства и того, что все остальное сводится к таким вот простым видам бесконечности.
И ладно, мало ли какую глупость написал философ 19 столетия. Тот же Дюринг не сказать, что везде был прав. Но есть одно "но". Никакого Дюринга в комментариях на просторах интернета в наше время вы не встретите. А вот очередного "Энгельса", пожалуйста, причем иногда с прямыми цитатами. В частности, под роликами о бесконечности Youtube можно не раз встретить утверждение о том, что истинная(!) только двусторонняя бесконечность. Человек, который увидит большое количество подобных комментариев, может даже не понять откуда вязалась подобная мысль, и почему она так популярна.
Далее наш автор начинает разбираться в противоречиях в математике. Как видно было выше в математике Энгельс не силен. Если взглянуть на историю жизни Энгельса можно также понять, что Энгельс вроде бы не должен иметь оснований считать себя достаточно знающим в данной области. Однако, это совершенно не мешает делать далеко идущие выводы. Это, собственно, и есть признаки воинственного невежества.
Мы уже упоминали, что одним из главных оснований высшей математики является противоречие, заключающееся в тождестве, при известных условиях, прямой линии с кривой. Она также приводит к другому противоречию, которое состоит в том, что линии, которые пересекаются на наших глазах, тем не менее уже в 5—6 сантиметрах от точки своего пересечения должны считаться как бы параллельными, т. е. такими, которые не могут пересечься даже при бесконечном их продолжении. И, тем не менее, при посредстве этих и еще более сильных противоречий высшая математика достигает не только правильных, но и вовсе не доступных низшей математике результатов.
Вообще, я долго думал, что именно имеет в виду Энгельс под тождеством прямой и кривой при «известных условиях». Начнем с того, что терминология в математике устроена таким образом, что кривая просто более общее понятие включающее в себя понятие прямой, как более узкое. "Тождества" никакого здесь не наблюдается, точно так же как нет тождества между квадратом и прямоугольником. Одно понятие просто более широкое чем другое.
Прямой же кривая является только если она удовлетворяет аксиомам геометрии. Для евклидовой геометрии прямая имеет привычный нам вид. Но в геометрии сферической (геометрии задаваемой на сфере), прямые это окружности, лежащие на сфере, чей центр совпадает с центром сферы. Кроме них есть еще множество других окружностей и кривых на сфере, но все они будут просто кривыми.
Полагаю, Энгельс имел в виду что то, что в евклидовой геометрии считается кривой – окружность, в сферической становится прямой. Однако, даже в этом случае никакого тождества нет. Это разные сущности, в разных геометриях. И далеко не все окружности (не говоря уже о всех кривых) становятся прямыми, потому такое мнение просто является довольно наивной терминологической ошибкой.
Что значит должны считаться параллельными вообще непонятно. Если две прямые пересеклись в какой-то точке (не бесконечно удаленной), они не являются параллельными. И никакая неевклидовая геометрия это не меняет. В сферической геометрии просто не существует параллельных прямых (все геодезические на сфере имеют точки пересечения). А в геометрии Лобачевского нарушается свойство транзитивности параллельности. То есть две прямые параллельные третьей, вполне могут пересекать друг друга. что делает их непараллельными. Но тем не менее основное понятие параллельности не меняется, и никакого противоречия не возникает. Более того математика крайне не любит противоречия в отличие от диалектиков.
Но и низшая математика кишит противоречиями. Таким противоречием является, например, то, что корень из А может быть степенью А, а все-таки A^(1/2)=√A. Противоречие представляет и то, что отрицательная величина может быть квадратом какой-либо величины, ибо каждая отрицательная величина, помноженная на себя самое, дает положительный квадрат. Поэтому квадратный корень из минус единицы есть не просто противоречие, но даже прямо абсурдное противоречие, действительная бессмыслица. И все же √-1 является во многих случаях необходимым результатом правильных математических операций; более того, — что было бы с математикой, как низшей, так и высшей, если бы ей было запрещено оперировать с √-1?
Начнем с небольшого замечания, строго говоря, комплексное число не величина, поскольку для комплексных чисел (а именно они могут давать отрицательное число в квадрате) не определенно отношение неравенства. Но это так, маленькая деталь. Допустим имелось ввиду "число".
Однако, откуда берется противоречие вообще неясно. Среди обычных действительных чисел, положительных или отрицательных не имеет такого чтобы в квадрате давало -1, это так. Поэтому математики вводят новый вид чисел называемых "мнимые", в составе чисел называемых "комплексными". Введение нового вида чисел при этом, это не чтото экстраординарное. Похожим образом были введены рациональные числа, или обыкновенные дроби, отрицательные числа, действительные числа. Когда результат какого-то действия дает непонятно что, это повод для математиков ввести для этого новое понятие. Противоречие при этом отсутствует, среди действительных чисел нет и не может быть "корня из минус единицы", он может быть только в новом множестве чисел, более широком и более сложном. Решая некое уравнение вроде x^2+1=0 мы получаем, что нет такого действительного числа, что удовлетворяло бы ему, но существует такое комплексное число. И если в рамках нашей модели возможно как-то интерпретировать комплексный результат мы можем его решить, но если нет, то результатом может быть только "нет решений".
Сразу после этого, Энгельс говорит:
Сама математика, занимаясь величинами переменными, вступает в диалектическую область, и характерно, что именно диалектический философ Декарт произвел в ней этот прогресс. Как математика переменных относится к математике постоянных величин, так и диалектическое мышление вообще относится к метафизическому. Это, однако, не мешает тому, что подавляющее большинство математиков признает диалектику только в области математики и что многие из них с помощью добытых диалектическим путем методов оперируют на старый, ограниченный, метафизический лад.
На самом деле, действительно непонятно с чего Энгельс записал Декарта в диалектические философы, если он скорее стоял у истоков ветви рационализма. Заслуга Декарта, действительно велика: он ввел метод аналитической геометрии, той самой связи алгебраических уравнений и геометрических построений через систему координат, что позволило по-другому посмотреть на неизвестные величины в алгебраических уравнениях. И перейти от уравнений с неизвестными к функциям от переменной. Но значит ли это, что Декарт изобрел переменные величины и ввел, так сказать, «изменчивость» в математику? Нет, это был долгий исторический процесс. Еще до Декарта математик Виет (известный вам формулами Виета со школы) ввел использование символов для неизвестных. Понятие же переменной величины появляется в первые вообще у Ньютона и Лейбница вместе с функцией, и математическим анализом. И то понадобилось еще сто лет, и Эйлер, чтобы это понимание более-менее сформировалось. И совсем строго понятие переменной зафиксировалось вместе с определением предела у Вейерштрасса, незадолго до написания самого Анти-Дюринга. То есть, надо понимать, математика, как и любая наука, это постепенный труд многих ученых, и очень странно приписывать все заслуги одному ученому из ряда последовательных исследований.
Вообще Энгельс тут проводит параллели между метафизикой и постоянным, диалектикой и переменным. При этом не понятно на каком основании. Какая связь вообще метафизики и более простых математических соображений? Здесь Энгельс использует слово "метафизика" скорее, как клеймо или оскорбление, при этом совершенно не углубляясь в вопросы реального положения дел. Непонятно и то, каким таким диалектическим методом добыто знание в математике. Конкретный пример, который приводится, как видно никакую диалектику не содержит, даже если приписывать Декарта к диалектикам. Метод координат, которые ныне называются декартовыми, позволил по-другому рассмотреть проблему решения уравнений, рассматривая некую неизвестную как величину переменную, нефиксированную. Для этого не понадобился какой-то особый метод, а подходящее визуальное представление. Затем это представление повлияло на рассуждения последующих математиков. И не мудрено, что пока Энгельс в каждом знаке видит, как лик Христа, диалектику, математики относятся к этому более прозаично.
Перейдем к следующей главе, где Энгельс защищает концепцию диалектики под названием "отрицание отрицания". Мы упустим, то, что не касается математики, и посмотрим, как через математику философ пытается обосновать силу диалектики:
Так же точно и в математике. Возьмем любую алгебраическую величину A. Если мы отрицаем ее, мы получим — A (минус A). Если же мы подвергнем отрицанию это отрицание, помножив -A на -A, то получим +A^2, т. е. первоначальную положительную величину, но на высшей ступени, именно во второй степени. И в этом случае не имеет значения, что то же самое A^2 мы можем получить умножением положительного A на само себя. Ибо отрицаемое отрицание а так прочно пребывает в A^2, что последнее при всяких обстоятельствах имеет два квадратных корня, именно + A и -A. И эта невозможность отделаться от отрицания отрицания, от содержащегося в квадрате отрицательного корня, получает очень осязательное значение уже в квадратных уравнениях.
Это довольно известный момент в Энгельсе, который показывает на самом деле противоположность того, что пытается показать Энгельс.
И так, для начала Энгельс вводит операцию отрицания довольно элементарным и известным образом как умножение на -1. И действительно произведя данную операцию с неким числом А мы получим -А. Однако отрицание -А внезапно имеет совершенно другое значение и умножение уже производится на -А по какой-то не объясняемой причине. И да нигде до или после это он не поясняет, это можно проверить по тексту. Энгельс на -А именно потому что хочет получит подходящий под свои измышления ответ.
Давайте попробуем поразмышлять над этим. Энгельс предлагает следующую цепочку отрицаний:
А -> -A -> A^2
Где и первый, и второй переход является отрицанием. Теперь давайте представим замену, А=-В. Что тогда выходит?
согласно первому у нас должно получится
А -> -A или с подстановкой -B -> B.
А вторая стрелка это умножение на -А или, на B в нашем случае то есть получается
B -> B^2
Куда пропало отрицание высшего уровня? Это же просто квадрат. Непонятно. Непонятно и то, что должно получиться дальше. Будет ли отрицание отрицания отрицания -A^3? или -A^2?
Оно и не мудрено, потому что на самом деле первая и вторая стрелка - это две совершенно произвольные операции, лишь отдаленно связанные с друг другом. И вся связь между ними Энгельсом устанавливается просто на основании аналогии. Аналогии, которая не имеет никакого отношения к реальной математике.
Но это то, как Энгельс оперирует с простейшей математикой, а вот когда он обращается к более сложной - математическому анализу, все становится еще веселее.
Еще резче отрицание отрицания выступает в высшем анализе, в тех «суммирования бесконечно малых величин», которые сам г. Дюринг объявляет наивысшими математическими операциями и которые на обычном языке называются дифференциальным и интегральным исчислением. Как производятся эти виды исчислений? Например, у нас в известной задаче имеются две переменные величины х и у, из которых одна не может изменяться без того, чтобы и другая не изменилась в определенном условиями задачи отношении. Я дифференцирую х и у, т. е. принимаю их столь бесконечно малыми, что они исчезают по сравнению со сколь угодно малой действительной величиной, что от х и у не остается ничего, кроме взаимного их отношения, лишенного, так сказать, всякой материальной основы, остается количественное отношение, лишенное всякого количества. Следовательно dy/dx, т. е. отношение обоих дифференциалов х и у, равно 0/0, но это 0/0 выражает собою y/x.
Начнем с того, что Энгельс пишет в 19 веке, а не в 17. А именно с 17 века было известно понятие "функция" и оно было более того ключевым в дифференциальном и интегральном исчислении. Математически строгое оно, конечно, появилось только во второй половине 19 века, то есть примерно, когда был написан Анти-Дюринг, но с самого появления дифференциального исчисления нельзя было обойтись совсем уж без этого понятия. Но Энгельс выражается именно так, что y и x две переменные величины, и которых одна не может изменяться без того, чтобы и другая не изменилась в определенном условиями задачи отношении. Конечно, имеется в виду функция, но Энгельс даже не утруждается подчеркнуть какая переменная тут независимая, а какая зависимая. Это на самом деле иллюстрирует очень слабый уровень понимания.
Затем дается совершенно неверное понимание предела. Во-первых, отношение дифференциалов, или производная, уже к этому моменту истории была вполне определенно задана через понятие предела. А понятие предела уже было четко сформулировано на языке эпсилон-дельта, благодаря трудам Коши и Вейерштрасса. Хотя труды конкретно Вейерштрасса были для 19 века совсем недавними, тем не менее до него был Коши. И очень безграмотно, что сейчас, что тогда говорить, что это отношение равно 0/0.
Производная равна определенной величине, а вовсе не ноль на ноль, ну иначе в этом понятие попросту не было бы смысла. Конечно, бывает, когда отношение бесконечно-малых математики обозначают как 0/0, конкретно в классификации неопределенностей в пределе. Однако, по тексту Энгельс понимает это отношение буквально, и не смущает что деление на ноль вообще бессмысленно.
И ладно бы пусть даже это 0/0 - можно воспринимать как то, что Энгельс плохо пояснил, недосказал, что нули здесь это бесконечно-малые, а не настоящие нули, но далее он вообще заявляет, что это выражает y/x. Причем тут гипербола? Причем тут y/x? Да не причем, просто Энгельс не понимает, что отношение приращения функции к приращению аргумента это совсем не то же самое, что отношение функции и ее аргумента. И далее Энгельс начинает старательно впихивать отрицание в исчисление:
Упомяну лишь мимоходом, что это отношение двух исчезнувших величин, этот фиксированный момент их исчезновения, представляет собой противоречие, но оно должно нас тревожить так же мало, как оно вообще мало тревожило математику в течение почти 200 лет. Итак, что же я делаю дифференцируя, как не то, что я отрицаю х и у, но только не в том смысле, что мне до них нет дела, как отрицает метафизика, а отрицаю соответственно обстоятельствам дела? Именно, вместо х и у я имею в данных формулах или уравнениях их отрицание dx и dy. Затем я произвожу дальнейшие действия с этими формулами, обращаюсь с dx и dy как с величинами действительными, хоть и подверженными некоторым исключительным законам, и в известном пункте я отрицаю отрицание, т. е. интегрирую дифференциальную формулу, вместо dx и dy вновь получаю действительные величины х и у и тем самым не просто возвращаюсь к исходному моменту, но разрешаю задачу, на которой обыкновенные геометрия и алгебра, быть может, понапрасну обломали бы себе зубы.
Начнем с того, что с самого момента создания метода флюксий и исчисления бесконечно-малых, стоял вопрос об основании метода. Эти вопросы задавались и Ньютону, и Лейбницу. Однако, математика 18-го века просто была недостаточно развита, чтобы эти строгие основания привести. Потому какие-то недосказанности вопроса на самом деле математиков волновали. Но не то, чтобы там на самом деле содержалось какое-то противоречие. Недосказанность не равно противоречие. Тем более что никакого фиксированного момента исчезновения там нет, а строгое обоснование метода было дано Вейерштрассом, без всяких противоречия.
После неловкой пошутеечки об отрицании Энгельс в тупую заявляет, что дифференциалы функции и переменной — это отрицание функции и переменной. Однако, x это просто переменная. Такая же как могла быть A в предыдущем абзаце. И ее отрицание, согласно старой схеме, должно быть -x. То есть опять отрицанием становится просто буквально что угодно, когда Энгельсу хочется. Другое отрицание при этом становится уже обратным действием - интегрированием. непонятно только как он интегрирует dy и dx, если это дифференциалы, а интегрируются функции. И даже если интегрировать дифференциал, то надо както делать-то по отдельности. К примеру, чтобы получить игрек, с точностью до константы, нужно проинтегрировать 1, по dy. В общем, Энгельс здесь делает настолько примерные рассуждения, что даже не понятно, что он собрался тут интегрировать и по какой переменной.
Тут же заметно и то, как Энгельс приписывает столетия развития строгой математической науки, множества идей и пр. какой-то диалектической идее, которая никем из ряда исследователей даже не упоминается. Ни Лейбниц, ни Ньютон - создатели, никакой диалектики в своих трудах не упоминали. Их соображения шли более того двумя разными независимыми путями, и достаточно прозрачными. Не упоминали ее и те, кто в дальнейшем развивал данную идею, Д'Аламбер, Эйлер, Коши, Вейерштрасс и тп. Так же как не упоминали «отрицание», ну кроме обычного математического или логического.
В принципе, казалось бы, Энгельс писал в 19 веке, это время уже давно прошло, всем должно быть все равно. Однако, как ни странно, очень много людей в комментариях на Youtube к обычным научпоп роликам про математику, пишут опусы на основе того, что понаписал тут Энгельс.
Продолжение возможно следует.