В результате изучения этой темы читатель
узнает: определение перестановки из n элементов, число всех перестановок из n элементов, определение подстановки, матричный способ записи подстановки, канонический вид записи подстановки, формулировку теоремы о числе подстановок, понятие циклического разложения подстановки, формулировку теоремы о разложении подстановки в произведение непересекающихся циклов, понятие транспозиции, формулировку теоремы о представлении подстановки произведением транспозиций, как задаётся операция умножения подстановок, свойства операции умножения подстановок, символ обозначения симметрической группой подстановок n-ой степени, понятие порядка подстановки, формулировку теоремы о порядке подстановки циклической подгруппы, понятие инверсии, понятия чётной и нечётной подстановок, формулировку о числе чётных подстановка, аксиомы знакопеременной группы;
научится: задавать подстановки через биективное отображение, матрицей, произведение циклов и произведение транспозиций, осуществлять умножение подстановок, определять обратную подстановку для заданной, рассчитывать число k-циклов в симметрической группе подстановок n-ой степени, определять порядок подстановки циклической подгруппы, определять число инверсий, выяснять, является ли заданная подстановка чётной (нечётной).
Итак, в частях 1 и 2, которые представлены по ссылкам [https://dzen.ru/a/Y5PXtxtNyXI4n90Z?share_to=link и https://dzen.ru/a/Y5P94ZKoygUKflhd?share_to=link], определено понятие подстановки n-ой степени и дан ряд определений. связанных с подстановками, включая определения такой бинарной операции над подстановками, как умножение (композиция) подстановок n-ой степени, а также приведены свойства этой операции.
Анализируя совокупность свойств операции умножения подстановок, можно сделать вывод о том, что все подстановки элементов множества K образуют группу относительно операции умножения подстановок, которая называется симметрической группой подстановок n-ой степени и обозначается Sn.
Порядок подстановки.
Например, в подстановке (3, 2, 5, 1, 7, 4, 6) следующие пары чисел образуют инверсии: {3,1}, {2,1}, {5,1}, {3,2}, {5,4}, {7,4}, {7,6}.
Следовательно, в заданной подстановке 7 инверсий.
Чётность подстановок n-ой степени.
Определение. Подстановка называется четной (нечетной) в зависимости от того, четно (нечетно) ли число встречающихся в ней инверсий: подстановка называется четной, если она содержит четное число инверсий, и нечетной в противном случае.
Например, подстановка (1, 2, 3, …, n) имеет 0 инверсий и, следовательно, является четной, однако, переставив в ней элементы 1 и 2, образуется подстановка с одной инверсией, то есть нечетная подстановка.
В качестве Упражнения 1 определите чётность подстановок из таблицы ниже
Пример выполнения практического задания (вариант № 30):
В качестве Упражнения 2 для подстановок 8-ой степени, которые будут представлены ниже, определите:
Пример выполнения практического задания (вариант № 30):