Когда Игорь Кваша учился в Школе-студии МХАТ, то думал, что судьба его предопределена, после выпуска он стал актером МХАТ. Но свою роль сыграло то обстоятельство, что курс был удачным – все студенты талантливы, энергичны, инициативы.
В 1956 году они создали «Студию молодых актеров», которая чуть позже стала основой труппы нового театра «Современник». Основали новый театр Олег Ефремов, Галина Волчек, Игорь Кваша и Лилия Толмачева. В первом спектакле «Современника» под названием «Вечно живые» Кваша сыграл одну из главных ролей.
В 1970 году Ефремов ушел из «Современника» в МХАТ, вместе с ним ушли несколько ведущих актеров театр. Кваша остался, помогал однокурснице Галине Волчек создавать новую труппу. Вместе они сохранили один из лучших театров страны. Игорь Кваша не раз говорил, что театр для него на первом месте, а кино – на втором.
В кинематограф Кваша пришел в 1961 году, сыграв в военном фильме Ильи Гурина «В трудный час». Но первая серьезная роль актера на экране случилась позже, когда он сыграл Карла Маркса в фильме «Год как жизнь» Григория Рошаля.
В фильме «Тот самый Мюнхгаузен» актер стал одним из немногих, кто не принадлежал к труппе «Ленкома». Его Бургомистр – оппонент главного героя. Эта роль принесла актеру широкую известность.
В зрелые годы Игорь Владимирович снимался реже, чем в советские годы, но зрители его видели постоянно в качестве ведущего программы «Жди меня». Не стало актера десять лет назад в возрасте 79 лет.