Пора разобрать задание для тех, кому математика даётся трудно. Разберём задание с сайта ФИПИ №4315. Это задание «повышенного» уровня сложности, однако, оно вполне по силам и ученикам невысоких способностей.
Напоминаю, для подписчиков предусмотрена возможность получения решений в "вордовском" .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками.
Кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
Имеется два сплава. Первый содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Рассуждаем
Представленное задание проще всего решать с помощью уравнения. В задании смешиваются два сплава некоторой массы с получением третьего сплава. Масса при этом сохраняется. Следовательно, можно составить уравнение – сумма масс двух сплавов равна массе третьего сплава.
Также сохраняется и сумма массы меди в этих сплавах. Откуда получаем второе уравнение – сумма масс меди в первом и втором сплаве равна массе меди в третьем.
При этом, разумно обозначить общие массы сплавов неизвестными, а массы меди в этих сплавах – выразить через процентное содержание и массу сплавов (через произведение этих величин). Получим два уравнения с тремя неизвестными (массами сплавов).
Остаётся исключить одно из неизвестных, учитывая условие о том, что масса второго сплава больше массы первого на 9кг. Массу второго сплава, таким образом, мы выразим через массу первого.
В результате в двух уравнениях останется только две неизвестных. Систему можно будет решить методом подстановки, и одно из неизвестных в ней будет массой третьего сплава, которую и требуется найти.
План решения
- Формализуем условие – обозначим буквами массы сплавов и массы чистой меди в них.
- Запишем условие смешивания, общая масса двух сплавов равна массе третьего сплава, общая масса меди в двух сплавах равна массе меди в третьем сплаве.
- В полученной системе уравнений распишем каждую массу, используя формализованные условия.
- Решим систему уравнений, и получим из неё массу третьего сплава.
Решение
Составим систему уравнений.
Обозначим массы сплавов прописными буквами (одновременно учтём условие про массу второго сплава):
Массу меди, входящую в эти сплавы, обозначим строчными буквами, и она равна (учтём данные в условии массовые доли):
При смешивании сумма масс двух первых сплавов осталась неизменной, и она представляет собой массу третьего сплава. Сумма масс меди также осталась прежней, и также представляет собой массу меди третьего сплава. Запишем это, получая систему уравнений:
Решая полученную систему, мы сможем найти необходимую массу.
Решаем.
Подставим в первое уравнение значение массы второго сплава, полученное выше, а во второе уравнение – значения масс меди:
Приведём подобные и умножим второе уравнение для удобства на 100:
Из первого уравнения найдём массу первого сплава (точнее выразим её через массу третьего):
Подставим это выражение во второе уравнение:
Упрощаем первый член, и переносим массу вправо:
Или:
Откуда получаем ответ: