Всем привет! Давайте уже, наконец, все вместе научимся тригонометрии, а не будем зубрить формулы, как вас учат зубрить многие блоги на ДЗЕНе и YouTube, учителя в обыкновенных школах и плохие репетиторы. Вставил бы пару ссылок на ДЗЕН с такими блогами, да делать рекламу им не хочется (пишу этот пост, имея 0 подписчиков).
Let's calculate infinity!
В рамках данной статьи элементарные факты из планиметрии предполагаются известными, но если вдруг нужно провести ликбез по элементарной геометрии -- дайте знать, отреагируйте здесь или в Telegram-канале: https://t.me/calcinfty
Слово "тригонометрия" означает "измерение треугольников". По сути тригонометрическая теория сосредоточена на изучении соотношений между длинами сторон треугольника и его углами.
Прежде чем что-то говорить о соотношениях, необходимо дать определение понятию: "величина угла". Здесь и всюду в дальнейшем под углом понимается именно плоский угол, т.е угол образованный двумя лучами на плоскости, выходящими из одной точки. Интуитивно ясно, что величину угла следует определяет как "величину" поворота, которая разделяет два луча, образующих угол. Т.е если один луч мы повернем на данную "величину" по направлению ко второму -- мы получим в точности второй луч:
Величина (мера) угла
Пусть x - произвольный вектор на плоскости xOy, причем начало вектора x находится в начале координат O.
Очевидно, что для обсуждения понятия величины угла длина вектора не имеет значения, поэтому будем считать его длину равной единице (вектора единичной длины называют нормированными). Тогда любой вектор x можно сопоставить с точкой на окружности с центром в начале координат и радиуса 1:
Градусная мера угла
Понятия градуса определяется из понятия оборота. Оборот это минимальный угол поворота при котором вектор возвращается сам в себя. По определению, полный оборот вокруг начала координат (траектория оборота задается данной окружностью) равен 360°. Таким образом величину угла в градусах можно вычислить, определив какую часть от всей окружности составляет дуга окружности, на которую опирается этот угол. Например, 1° = 1/360 оборота.
Таким образом мы определили величину угла в градусах! Заметим, что мы определили только неотрицательные углы, вращая вектор x по часовой стрелке. Тогда естественно определять отрицательные углы вращением вектора x по часовой стрелке.
Стоит отметить, что градусная мера угла хоть и является привычной для большинства людей, но она не является естественной в том смысле, что значение полного оборота можно положить любым, отличным от 360° и оно будет ничуть не хуже :)
Радианная мера угла
Радианной мерой угла называется отношение длины дуги окружности, на которую опирается измеряемый угол к радиусу этой окружности.
Данное отношение не зависит от радиуса окружности.
Возьмём окружность единичного радиуса, тогда, смотря на Рис.2 мы видим, что радианная мера угла равна в точности длине дуги, на которую этот угол опирается! Если дуга равна радиусу, то говорят, что угол имеет радианную меру, равную 1. Таким образом, радианную меру угла можно мыслить как количество дуг с длиной, равной радиусу, которые вмещает дуга, на которую опирается измеряемый угол:
Т.к длина окружности единичного радиуса равняется 2π, то радианная мера угла в 360° равна 2π. Используя это мы можем легко вычислить радианную меру, например, угла в 90°. Прямой угол составляет четверть от всей окружности, соответственно его радианная мера равна π/2, а угла в 45° равна π/4.
Заметим, что радианная мера угла в 1° равна 2π/360 = π/180 (т.к углу в один градус соответствует дуга, длина которой составляет 1/360 от всей длины окружности). Теперь мы можем вычислить радианную меру для любого угла! Допустим, для угла в 60° имеем: 60 * π/180 = π/3. Отрицательные радианные меры определяем для углов, образуемых вращением по часовой стрелке, как и в случае градусной меры.
Отлично, теперь у нас есть действительно естественное понятие величины угла, давайте посмотрим, как можно использовать данное определение в геометрических приложениях. Рассмотрим окружность радиуса r с центром в начале координат и угол φ (всюду в дальнейшем мы отождествляем угол как геометрический объект и число -- его радианную меру). Пусть s длина дуги, на которую опирается угол φ. Тогда, по определению радианной меры φ = s/r. Таким образом s = rφ.
Упражнение: Вычислите площадь сектора в круге радиуса r, образованного углом φ.
В данной короткой лекции мы подготовили почву для построения всей последующей тригонометрической теории, ведь мы получили универсальный способ измерения углов, более того, он является естественным, т.к опирается на величины, присущие каждой окружности, причем все величины являются следствием строгих математических рассуждений (таких как существование числа π) в отличие от градусной меры, где мы наделили окружность свойством обладать градусной мерой в 360°, не имея никаких математических предпосылок для этого.
Есть есть вопросы по этой теме или по любой другой (не обязательно из моих постов), а также есть желание попасть в сообщество людей (опять я это пишу, когда у меня 0 подписчиков), которые постоянно занимаются математикой-информатикой-физикой и обсуждают задачи -- присоединяйтесь в Telegram-канал: https://t.me/calcinfty
Там я постараюсь ответить на все вопросы, не оставлю равнодушным никого :)