Давно не было тригонометрии. Сегодня рассмотрим несложное задание №4188 из банка тестовых заданий для ЕГЭ ФИПИ. Хотя, это задание «повышенного» уровня сложности, однако, оно по силам даже ученикам невысоких способностей.
Напоминаю, для подписчиков предусмотрена возможность получения решений в «вордовском» .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками.
Кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
В треугольнике ABC AC = BC, AB = 14, AH — высота, BH = 7.
Найдите косинус угла BAC.
Рассуждаем
Для решения задания необходимо вспомнить связь между косинусом угла в треугольнике и размерами его сторон. В частности, косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Обратим внимание, что свойство косинуса касается прямоугольного треугольника, а искомый угол не входит ни в какой прямоугольный треугольник. Однако, на чертеже имеется высота, а значит, общий треугольник разбит ею на два прямоугольных. Среди исходных данных имеется длины отрезков AB и BH, а это как раз стороны одного из образовавшихся прямоугольных треугольников.
Более того, это гипотенуза и прилежащий катет угла ABC.
Таким образом, мы можем найти косинус этого угла.
Остаётся учесть равенство сторон AC и BC большого треугольника. Если в треугольнике две стороны равны – это равнобедренный треугольник, а одним из его свойств является равенство углов при основании.
В основании же этого треугольника лежат как раз угол, косинус которого требуется найти, и угол, косинус которого мы можем вычислить исходя из данных сторон.
Таким образом, для решения достаточно найти отношение сторон BH и AB. Это значение будет косинусом угла ABC, а значит, и искомого угла BAC..
План решения
- Используя свойства косинуса и данные стороны треугольника ABH, найдём косинус угла ABC.
- Учтём, что треугольник ABC - равнобедренный, вспомним свойства равнобедренного треугольника, и запишем полученное значение в ответ.
Решение
Поскольку в данном треугольнике две стороны равны (AC = BC), то треугольник равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (∠BAC = ∠ABC). Косинусы их также будут равны.
Косинус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Учитывая все эти свойства, получаем:
То есть, ответ: