Не так давно выкладывал задачку, на которую пришло немало откликов-решений. Спасибо всем! Давайте разберем ее подробно. Вот она:
Итак, условие задачи. Дана трапеция ABCD. Отрезки, соединяющие середины сторон равны соответственно: KL=24, MN=10. Найдите основания трапеции.
В первую очередь полезно обратить внимание на углы. Если они настолько "нестандартные", значит, это кому-то нужно! То есть нам! Посмотрим, что будет, если бы 2 таких угла имел треугольник. Каким был бы тогда его третий угол?
180 - 67 -23 = 90
Получается, что трапеция - это часть прямоугольного треугольника! Сделаем дополнительные построения и посмотрим на все это свежим взглядом:
Конечно же, у вас возникает вопрос, мол, почему продолжение отрезка МН должно попасть в вершину прямого угла Р? Вопрос резонный! Все дело в так называемом "Замечательном свойстве трапеции". Оно говорит нам о том, что не только середины оснований, но даже точка пересечения диагоналей лежат на одно прямой с точкой пересечения боковых сторон трапеции. Иными словами, точки Р, М и N действительно принадлежат одной прямой. Общему случаю можно посвятить отдельный разбор. А в нашей задаче простой логикой и сказать об этом следующее. В прямоугольном треугольнике ВРС отрезок РМ является медианой, проведенной из прямого угла, и он делит гипотенузу пополам. В треугольнике АРD отрезок РN также является медианой, проведенной из прямого угла, и делящей гипотенузу пополам. А, поскольку отрезок MN соединяет как раз середины оснований трапеции, то, следовательно отрезки РМ, РN и MN действительно принадлежат одной и той же прямой.
А вот дальше хорошо обратить внимание не на весь чертеж, а на его часть. А именно вот на эту:
В треугольнике ВРС медиана РМ равна половине гипотенузы (свойство медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла). То есть РМ=ВМ=МС. Обозначим эти отрезки за "икс".
Заметим, что то же верно и для треугольника КРО. Медиана РО равна половине гипотенузы КО, то есть двенадцати. Тогда просто запишем это и найдем икс!
Тогда мы сразу получаем ВС, равное 2х, оно равно четырнадцати. Теперь осталось найти нижнее основание. Можно это сделать также из прямоугольных треугольников. Но для разнообразия давайте найдем AD из формулы средней линии трапеции, хорошо?
Итак, наши ответы: ВС = 14, АD = 34.
Всё! Задача решена!
Всё ли понятно в решении? Какие еще задания было бы интересно разобрать?
Делитесь, пожалуйста, в комментариях! И до встречи!