Ранее было рассмотрено понятие нечёткого множества, операций над нечёткими множествами и др. понятия теории нечетких множеств.
В настоящем материале рассмотрим такие нечёткие множества, которые заданы на декартовых произведениях нескольких чётких множеств.
В результате изучения материалов текущей лекции предполагается, что читатель узнает, как определяется декартово произведение, как на декартовом произведении задаются нечёткие отношения, а также узнает, какие существуют способы задания как произвольных, так и бинарных нечётких отношений.
В дополнение рассмотрим несколько частных случаев нечетких отношений и некоторые их характеристики.
Итак, для начала рассмотрим понятие декартового произведения нескольких множеств.
Заметим, что декартово произведение не подчиняется коммутативному закону.
Сформулируем понятие произвольного нечёткого отношения.
Другими словами, нечётким отношением (НО) R, заданным на декартовом произведении нескольких универсальных множеств, называется нечёткое множество (НМ), состоящее из совокупности k-арных упорядоченных последовательностей, которым поставлено в соответствие некоторое действительное число из отрезка от нуля до единицы, называемое функцией принадлежности и характеризующее степень принадлежности k-арной упорядоченной последовательности нечёткому отношению R.
Обратим внимание, что если нечёткое отношение задано на декартовом произведении двух универсальных чётких множеств, то тогда оно называется бинарным нечётким отношением (БНО).
Способы задания нечётких отношений.
Существует несколько способов задания нечётких отношений, которые мы рассмотрим далее на конкретных примерах.
К способам задания произвольных нечетких отношений относятся:
- перечисление элементов,
- аналитический способ.
К способам задания только бинарных нечетких отношений относятся:
3. матричный способ,
4. табличный способ,
5. с использованием понятия ориентированного графа,
6. в виде трёхмерного графика.
Демонстрационные примеры вышеперечисленных способов для удобства рассмотрим с использованием следующих бинарных нечетких отношений.
Бинарных нечетких отношений, использующихся для поддержки принятия решений при выборе типа судна, оптимального для перевозки конкретных грузов.
Для этого рассмотрим множества X и Y, при этом в качестве элементов множества X выступают:
x1, обозначающий «Перевозка угля»;
x2, обозначающий «Перевозка руды» и элемент
x3, обозначающий «Перевозка целлюлозы».
Элементы множества Y зададим следующим образом:
Через y1 обозначим «Стоимость груза»;
через y2 обозначим «Охрана груза» и
через y3 обозначим элемент «Уровень конкуренции».
На декартовом произведении множеств X и Y зададим три бинарных нечетких отношения R1, R2, R3, перечисление элементов которых запишем ниже:
СПОСОБ 1. Перечисление элементов.
При 1 способе элементы БНО, являющиеся упорядоченными парами с первой компонентой, представляющей собой упорядоченную пару декартового произведения множеств X и Y и второй компонентой – соответствующим значением функции принадлежности из отрезка [0, 1], записываются между двумя фигурными скобками и разделяются запятыми.
Такой способ, конечно, используется в том случае, когда элементов в нечетком отношении немного, и все их несложно перечислить.
СПОСОБ 2. Аналитическое представление функции принадлежности
Для демонстрации примеров использования такого способа посвящена следующая лекция [https://dzen.ru/media/id/603a418d1684900aa2499416/analiticheskii-sposob-zadaniia-binarnyh-nechetkih-otnoshenii-637b646dcc6c1041696c2cf3].
СПОСОБ 3. Матричный способ.
В матричном способе записывается матрица, строки которой обозначаются элементами первого универсального множества X, а столбцы – второго универсального множества Y, а на пересечении i-ой строки и j-ого столбца ставится значение функции принадлежности, соответствующее упорядоченной паре (xi, yj).
Для нашего примера БНО матрицы представляют собой следующий вид:
СПОСОБ 4. Табличный способ.
Табличный способ плавно вытекает из матричного, примеры бинарных нечётких отношений R1, R2 и R3 представим на картинке:
СПОСОБ 5. Графовый способ (с использованием понятия ориентированного графа)
В отличие от графического способа, когда в виде трёхмерного графика визуализируется функция принадлежности, графовый способ основан на понятии взвешенного ориентированного графа, в этом случае слева отображаются элементы первого универсального множества X, справа – второго универсального множества Y, а над ориентированным ребром, соответствующем упорядоченной паре (xi, yj) указывается значение функции принадлежности, соответствующее этой упорядоченной паре.
Заметим, что если значение функции принадлежности равно нулю, то соответствующее ориентированное ребро можно опустить.
СПОСОБ 6. В виде трёхмерного графика.
По математической формуле для функции принадлежности можно построить трёхмерный график,
Ниже покажем три трёхмерных графика, каждый из них соответствует бинарному нечеткому отношению R1, R2 или R3, заданному на декартовом произведении множеств X и Y, которые были определены ранее.
В качестве Упражнения 1 рассмотрите следующие бинарные нечёткие отношения R, заданные на декартовом квадрате множества X = {1, 2, 3}, записанные перечислением элементов, и задайте их всеми другими способами (можно исключить аналитический):
- R = {((1, 1), 0.99), ((1, 2), 0.98), ((1, 3), 0.97), ((2, 1), 0.96), ((2, 2), 0.95), ((2, 3), 0.94), ((3, 1), 0.93), ((3, 2), 0.92), ((3, 3), 0.91)};
- R = {((1, 1), 0.99), ((1, 2), 0.98), ((1, 3), 0.97), ((2, 1), 0.96), ((2, 2), 0.95), ((2, 3), 0.95), ((3, 1), 0.96), ((3, 2), 0.97), ((3, 3), 0.98)};
- R = {((1, 1), 0.9), ((1, 2), 0.8), ((1, 3), 0.7), ((2, 1), 0.6), ((2, 2), 0.5), ((2, 3), 0.9), ((3, 1), 0.3), ((3, 2), 0.9), ((3, 3), 0.1)};
- R = {((1, 1), 1), ((1, 2), 0.9), ((1, 3), 0.8), ((2, 1), 0.7), ((2, 2), 0.6), ((2, 3), 0.6), ((3, 1), 0.7), ((3, 2), 0.8), ((3, 3), 0.9)};
- R = {((1, 1), 1), ((1, 2), 0.9), ((1, 3), 0.3), ((2, 1), 0.4), ((2, 2), 0.6), ((2, 3), 0.5), ((3, 1), 0.7), ((3, 2), 0.8), ((3, 3), 0.2)};
- R = {((1, 1), 1), ((1, 2), 0.2), ((1, 3), 0.8), ((2, 1), 0.7), ((2, 2), 0.5), ((2, 3), 0.5), ((3, 1), 0.4), ((3, 2), 0.8), ((3, 3), 0.2)};
- R = {((1, 1), 0.1), ((1, 2), 0.2), ((1, 3), 0.2), ((2, 1), 0.7), ((2, 2), 0.7), ((2, 3), 0.4), ((3, 1), 0.4), ((3, 2), 0.8), ((3, 3), 0.8)};
- R = {((1, 1), 1), ((1, 2), 0.9), ((1, 3), 0.8), ((2, 1), 0.7), ((2, 2), 0.6), ((2, 3), 0.5), ((3, 1), 0.4), ((3, 2), 0.3), ((3, 3), 0.2)};
- R = {((1, 1), 0.1), ((1, 2), 0.2), ((1, 3), 0.3), ((2, 1), 0.4), ((2, 2), 0.5), ((2, 3), 0.6), ((3, 1), 0.7), ((3, 2), 0.8), ((3, 3), 0.9)};
- R = {((1, 1), 0.1), ((1, 2), 0.2), ((1, 3), 0.3), ((2, 1), 0.4), ((2, 2), 0.5), ((2, 3), 0.5), ((3, 1), 0.5), ((3, 2), 0.8), ((3, 3), 0.9)};
- R = {((1, 1), 0.1), ((1, 2), 0.2), ((1, 3), 0.2), ((2, 1), 0.2), ((2, 2), 0.5), ((2, 3), 0.6), ((3, 1), 0.7), ((3, 2), 0.7), ((3, 3), 0.7)};
- R = {((1, 1), 0.11), ((1, 2), 0.21), ((1, 3), 0.31), ((2, 1), 0.41), ((2, 2), 0.51), ((2, 3), 0.61), ((3, 1), 0.71), ((3, 2), 0.81), ((3, 3), 0.91)};
- R = {((1, 1), 0.1), ((1, 2), 0.2), ((1, 3), 0.3), ((2, 1), 0.2), ((2, 2), 0.1), ((2, 3), 0.2), ((3, 1), 0.3), ((3, 2), 0.2), ((3, 3), 0.1)};
- R = {((1, 1), 0.1), ((1, 2), 0.2), ((1, 3), 0.3), ((2, 1), 0.4), ((2, 2), 0.5), ((2, 3), 0.4), ((3, 1), 0.3), ((3, 2), 0.2), ((3, 3), 0.1)};
- R = {((1, 1), 1), ((1, 2), 0.95), ((1, 3), 0.85), ((2, 1), 0.75), ((2, 2), 0.65), ((2, 3), 0.55), ((3, 1), 0.45), ((3, 2), 0.35), ((3, 3), 0.25)};
- R = {((1, 1), 0.95), ((1, 2), 0.95), ((1, 3), 0.95), ((2, 1), 0.95), ((2, 2), 0.95), ((2, 3), 0.95), ((3, 1), 0.95), ((3, 2), 0.95), ((3, 3), 0.95)};
- R = {((1, 1), 0.59), ((1, 2), 0.58), ((1, 3), 0.57), ((2, 1), 0.56), ((2, 2), 0.55), ((2, 3), 0.55), ((3, 1), 0.56), ((3, 2), 0.57), ((3, 3), 0.58)};
- R = {((1, 1), 0.95), ((1, 2), 0.85), ((1, 3), 0.75), ((2, 1), 0.65), ((2, 2), 0.55), ((2, 3), 0.95), ((3, 1), 0.35), ((3, 2), 0.95), ((3, 3), 0.1)};
- R = {((1, 1), 1), ((1, 2), 0.95), ((1, 3), 0.85), ((2, 1), 0.75), ((2, 2), 0.65), ((2, 3), 0.65), ((3, 1), 0.75), ((3, 2), 0.85), ((3, 3), 0.95)};
- R = {((1, 1), 1), ((1, 2), 0.95), ((1, 3), 0.35), ((2, 1), 0.45), ((2, 2), 0.65), ((2, 3), 0.55), ((3, 1), 0.75), ((3, 2), 0.85), ((3, 3), 0.25)}.
Упражнение 2: