Не так давно публиковал задачку. на которую было мало откликов. Возможно, она оказалась неинтересна... Но, скорее всего, оказалось просто слегка сложноватой. Вот она и ее чертеж:
Итак, нам дан треугольник АВС. Из вершин В и С проведены перпендикуляры ВН и СК соответственно. Угол НВС равен 30 градусам. Из точки Н проведен перпендикуляр НF к стороне АВ. Отрезок FK равен корню из трех. Требуется найти FH.
Кажется, что этот перпендикуляр FН какой-то странный, не привязан к вершинам, углы в трапеции FKCH неизвестны... Решать ее без дополнительных построений будет трудновато. Поэтому дополним рисунок.
Чаще всего задание становится удобнее, если находить неизвестные величины из треугольников, особенно прямоугольных. Можно, поэтому, либо провести FC, либо FH. Достроим отрезок FH, он, вероятно, будет более полезным, ибо включает в себя и известную сторону, и неизвестную!
Вроде бы, нам здесь опять ничего не известно дополнительного. Но это не совсем так!
Давайте посмотрим на прямоугольные треугольники ВСК и КНС. Они разные, не подобные, углы у них тоже все непонятные, но есть одно важное свойство - у них общая гипотенуза ВС. Выделил эти треугольнике легкой штриховкой.
Дело в том, что прямоугольный треугольник всегда, будучи вписанным в окружность, опирается на диаметр. Тогда получается, что если мы бы вписали треугольник КВС, то диаметр такой окружности был бы ВС. А если бы мы вписали треугольник ВНС, то диаметр такой окружности был бы... тоже ВС!
Следовательно, все 4 точки К, В, С и Н лежать на одной и той же окружности с диаметром ВС. А в этом случае угол НВС и угол НКС являются вписанными и опирающимися на одну и ту же хорду НС! Отсюда следует, что эти углы равны!
Итак, угол НКС равен 30 градусам, но ведь угол FKH - прямой! Значит, угол FKC = 90 - 30 = 60 градусам!
Ну, и, наконец, в прямоугольном треугольнике 30-60-90 градусов длина "длинного" катета равна длине короткого катета, умноженной на корень из трех. Это можно считать также через тагенс или котангенс угла, либо из соотношения между коротким катетом и гипотенузой - вариантов много. Главное, что мы таким образом получаем значение FH = 3.
Всё! Задача решена! Ответ FH=3.
Все ли было понятно в разборе? Какие еще задачи будет интересно рассмотреть? Делитесь, пожалуйста, в комментариях :)
А на этом пока всё. До встречи!