В этом материале приведём некоторые сведения, связанные с таким методом доказательства различных утверждений, как метод математической индукции, а также покажем, как можно использовать вопросно-ответную систему Wolfram|Alpha для доказательства различных утверждений.
Формулировка метода математической индукции (ММИ). Утверждение справедливо для любого натурального числа n, если:
1) утверждение справедливо для n = 1,
2) из справедливости утверждения для произвольного натурального n = k следует справедливость утверждения для n = k + 1.
Замечание 1: иногда удобно опираться на справедливость утверждения не для n = k, а для n = k - 1, в этом случае проверяется справедливость утверждения для n = k.
Замечание 2: встречаются утверждения, справедливые для всех натуральных чисел, начиная с m-ого. В этом случае проверяется справедливость утверждения для n = 1, 2, 3, … до тех пор, пока не найдётся m, для которого справедливо утверждение.
Замечание 3: для доказательств утверждений удобно разбить метод на следующие три шага:
Шаг № 1 (Базис индукции). На этом шаге осуществляется проверка справедливости утверждения для n = 1 (если не выполняется, то для n > 1 , см. замечание 2),
Шаг № 2 (Предположение индукции). Полагаем, что заданное утверждение справедливо для n = k. При этом полагаем совершенно бездоказательно, считаем, что "пусть будет так".
Шаг № 3 (Индуктивный переход). Проверяем справедливость утверждения для n = k + 1. В случае, если индуктивный переход с учётом положения шага №2 выполняется, то делаем заключение о справедливости заданного утверждения.
Использование вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha для доказательства аналогичных утверждений возможно двумя способами:
1 способ: использование вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha для получения правой части некоторого утверждения.
2 способ: использование вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha для подтверждения справедливости некоторого утверждения.
Рассмотрим оба способа на примерах.
Пример 2. Рассмотрим использование вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha при 1 способе.
Для этого в командное окно внесём левые части некоторых утверждений, например (вносятся по-отдельности в командное окно вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha) :
1+2+3+4+5+...+n
1+3+5+...+(2n-1)
5+45+325+...+(4n+1)*5^(n-1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2
В таком случае мы получаем правые части этих утверждений, при этом итоговые выражения можно использовать для отработки навыков в применении ММИ.
Для внесённых команд, как показано выше, получим следующие результаты:
Пример 3. Рассмотрим использование вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha при 1 способе для нахождения следующей суммы:
1*1! + 2* 2! + 3 * 3! + ... + 2022 * 2022!
Для этого в командное окно вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha имеющуюся часть выражения, заменив итоговое число на n:
1*1!+2*2!+3*3!+...+n*n!
Получим результат суммы, подставив в который легко получаем итоговое значение:
То есть сумма этого выражения с многоточием равна (n+1)!-1, т.е. (2022+1)!-1 = 2023! -1
Пример 4. Рассмотрим использование вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha при 2 способе.
Для этого в командное окно внесём левые и правые части некоторых утверждений, например (вносятся по-отдельности в командное окно вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha) :
is 1+2+3+...+n=n(n+1)/2
is 1+3+5+...+(2n-1)=n^2
is 5+45+325+...+(4n+1)*5^(n-1)=n*5^n
is 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n*(n+1)(2n+1)/6
Во втором случае мы получаем ответ вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha), является ли введённое выражение истинным для того, чтобы в последующем доказать это с использованием ММИ.
Для внесённых команд, как показано выше, получим следующие результаты:
Упражнение 1. Проверьте в вопросно-ответной системе Wolfram|Alpha верность следующих выражений (подтверждающий скрин приведите в виде комментария под лекцией). Докажите их, используя Метод Математической Индукции.
Упражнение 2. Найдите в сети Интернет некоторое утверждение, которого нет в лекции и приведённых вариантах для самостоятельного решения, проверьте в вопросно-ответной системе Wolfram|Alpha верность этого выражения (подтверждающий скрин приведите в виде комментария под лекцией) и докажите его, используя ММИ.