Начнем с того, что в русском языке есть глаголы "лазить" и "лазать", и оба они правильные. Но ситуация с ними следующая: в словарях они отмечены как глаголы разных спряжений, различные по смыслу и употреблению в речи! Их объединяет только то, что они оба "передвигаются, цепляясь за что-то" и у них общее производное существительное - "лазание". А что получается на практике? "Лазать" и "лазить" стали абсолютно равнозначными глаголами, которые отличаются лишь тем, что относятся к разным спряжениям. И это, на мой взгляд, не правильно. Объясню почему.
В московском регионе глагол "лазать" постепенно устаревает. Не исключено, что в скором времени более современное слово "лазить" его полностью вытеснит. Его употребление легче воспринимается на слух, а все словари единогласно признают лишь одну форму - лазить, при этом глагол "лазать" помечают как разговорную форму.
А теперь вспомните о верхолазах, скалолазах, водолазах. Все они образовались от глагола "лазать". Разве можно вывести эти слова из глагола "лазить"? Что за странных "верхолезов" и "водолезов" мы тогда получим? А попробуйте сказать про альпиниста, что он лазит по горам. Как ни крути, но "лазать" - это больше про "взбирание", зачастую, со специальным снаряжением, передвижение по труднодоступным местам с использованием всех конечностей.
Поэтому и про животных будет уместнее сказать, что они лазают, а не лазят.
А лазить (в смысле шарить) можно, например, по карманам.
Или же передвигаться не по ровному месту, без применения специальных навыков, умения и снаряжения. В этом случае "лазить" можно заменить синонимами "болтаться", "бродить", "прогуливаться", "ползать", "переползать".
В сущности, путаница с "лазить" и "лазать" порождена тем, что лазить обычному гражданину приходится гораздо чаще и больше, чем лазать.
Подытожим
Верны "лазить" и "лазать", "лажу" и "лазаю". И, несмотря на то, что строгие литературные нормы призывают говорить "лазить" и "лажу", я бы все же отталкивалась бы от контекста.
Ясно одно - нельзя говорить:
- Лазю
- Лазию
- Лазиет
- Лазийте
- Лазиешь
- Лазиют
Все эти формы - ошибочны и лучше их не произносить.
Как правильно спрягать:
Лазить
- Я лажу
- Ты лазишь
- Он лазит
- Мы лазим
- Вы лазите
- Они лазят
Лазать
- Я лазаю
- Ты лазаешь
- Он лазает
- Мы лазаем
- Вы лазаете
- Они лазают
Немало проблем доставляет и повелительное наклонение этих и родственных глаголов. Признайтесь, орали вы хоть раз своему ребенку, чтобы тот "немедленно слазил с дерева"? Так говорить, конечно, неправильно. Как и употреблять слова "лазий", "слазий", "залазий". Некоторые справочники утверждают, что у слова "лазить" повелительной формы вообще нет. Поэтому, чтобы точно не ошибиться, лучше сказать "слезай", или "залезай".