В XVI в. знание практической математики применялось прежде всего для торговых и налоговых операций. Определенные математические формулы использовались церковью для расчета Пасхалий, церковного календаря, хронологического определения праздников и церковных служб.
Историки науки считают, что развитие торговли в XVI веке вызвало к жизни арифметические руководства. Знаток древнерусских книг А.И. Соболевский описывает два из них. «Счет греческих купцов, учат младых деток считать, имущих десять грань» - таблица умножения (Пифагорова таблица), входившая в состав псалтыри XVI в. И «Сия книга глаголема, по-гречески арифметика, а по-русски - цифирная счетная мудрость». Скорее всего, это были переделки с иностранных изданий, подогнанные под русские нужды.
Гнеденко Б.В. в «Очерках по истории математики в России» пишет: «На математическое развитие древней Руси огромное влияние оказало введение славянского алфавита, основанного на греческом, и перенос к нам греческой системы нумерации». Говоря простыми словами, буквы служили одновременно и числами, при этом сверху буквы ставили знак титло ̃. Порядок букв и цифр не совпадали. Например, вторая буква алфавита «Б» - буки – не имела цифрового обозначения.
Для обозначения тысяч перед каждой буквой ставили знак - косая линия, перечёркнутая два раза, для десятков тысяч (тьмы) буквы ставили в кружок, для сотен тысяч (легионов, неведий) – в кружке из точек, для миллионов (леодров) – в кружке из черточек. Пример буквенного обозначения привычных нам арабо-индийских цифр.
Большие цифры требовались для проведения торговых операций. И для облегчения их сложения применялись особые устройства – счеты, получившие название «дощаный счет».
Как пишет историк Р.А. Симонов: «Первоначально «дощаный счет» был довольно громоздким прибором, содержащим четыре вычислительных поля, представлявших собой деревянные рамы с закрепленными прутьями/шнурами с нанизанными счетными костяшками для денежного счета, фискальных расчетов, вычисления мер емкостей и весов. В отличие от современных счетов, «дощаный счет» имел в нижней части прутья/шнуры для счета четями и третями с их двоичными долями». «Несмотря на внимание историков науки к «дощаному счету», он не до конца изучен», - сетует ученый. Поэтому мы не сможем его описать, лишь зафиксируем, что подобное счетное устройство существовало и скорее всего было предтечей привычных нам счет с костяшками.
Появлению «дощаного счета», вызванного сложными расчетами принятой во второй половине XVI в. единой налоговой поземельной единицы (большой сохи), предшествовала более простая система – счет на плодовых косточках. Об этом упоминает опричник немец Генрих Штаден: «В Русской земле счет ведут при помощи сливяных косточек».
Введение «большой сохи» должно было способствовать унификации налоговой системы. Для расчета налогов было необходимо вычислить коэффициенты с учетом качества земли и сословного положения владельцев. На их основании устанавливалась условная мера — соха.
В рецензии на книгу «Арифметика в Московском государстве XVI века» Р.А. Симонов пишет о расшифровке древнерусских способов счета в системе «сошных дробей» (подсчета налогов с сохи), предложенной М.А. Цайгером.
«М.А. Цайгер воспроизводит одну из таких формул, которая в древнерусских сошных дробях звучит так: «Четь да полчети да пол-полтрети да пол-полполтрети, итого треть и полтрети сохи». В современном обозначении дробей она может быть выражена следующим равенством: 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/24 = 1/3+1/6. Смысл равенства состоял в переводе одних сошных дробей в другие, что было нужно для рационализации вычислений при взимании налога с угодий, состоящих из участков владений различной величины и ценности (пашни, леса, луга и пр.)…
Оригинальность Цайгера состоит в том, что он перевел сошные значения в денежный счет московскими деньгами – московками, которым жители средневековой Московии легко оперировали. «Поскольку в 8 алтынах содержится 48 денег, значения третных и четвертных дробей как бы увеличивались в 48 раз, в результате чего дробные слагаемые как бы превращались в целые числа, оперировать с которыми служилые люди умели. После получения окончательного результата его обратно превращали в дробь по тому же принципу (т. е. из расчета, что 8 алтын равно единице)» <…> «В левой части утверждения: четь = 2 алт[ына];полчети = 1 алт[ын]; пол-полтрети = 4 ден[ги]; пол-пол-полтрети = 2 ден[ги]. 2 алт[ына] + 1 алт[ын] + 4 ден[ги] + 2 ден[ги ] = 3 алт[ына] + 6 ден[ег] = 4 алт[ына]. В правой части утверждения: треть = 2 алт[ына] 4 ден[ги];полтрети = 1 алт[ын] 2 ден[ги]. 2 алт[ына] 4 ден[ги] + 1 алт[ын] 2 ден[ги] = 3 алт[ына] + 6 ден[ег] = 4 алт[ына]. Левая часть равна правой, т. е. утверждение является верным».
Изящное решение, т.к. привычные в Средневековье 8 алтын-48 денег делится как на три, так и на четыре без остатка – не будет дробных частей. Вполне вероятно, что именно таким практическим образом, через перевод сошных измерений в денежные, и решались задачи по расчету налогов.
Для лучшего взимания налогов требовалось определение площади принадлежащей тому или иному владельцу земли. Как переписчики вычисляли площадь участков разной формы, такие как «поле четвероугольное с тремя великим мысы» и другие четыреугольные же поля иных очертаний»? Т.И. Райнов в книге «Наука в России XI-XVII веков» сообщает о руководстве «О земном верстании», содержащем указания по практической геометрии, как правильно решать подобные задачи. Она дошла до нашего времени в списке XVII века – «Книге сошного письма», из которой историк приводит пример вычисления площади прямоугольника.
«И ты мери первую [вервью] сице: с аза на буки, и тут 40 сажен, да с аза же на глаголь и тут 40 сажен, мери же с веди на буки и також 40 сажен; и тут стало четверть севу; вымери ж сколько сажен осталось от четверти поперег, и тут стало 13 сажен с третью сажени, и тут станет три [треть] четверти, всего поля станет четверть с третью четверти севу». <…> Прямоугольник вымеряется мерной веревкой, «вервью», которая обычно имела в длину именно 40 саженей. Сперва измерялась площадь, соответствующая квадрату длины «верви», т.е. 1600 кв. саженям. Эта площадь квадрата называлась «четвертью». Судя по приведенному тексту, для определения этой площади считалось недостаточным знать длину АБ и АГ: вымеряли еще длину ВГ, а по другим рукописям также длину БВ, т. е. все четыре стороны квадрата. Возникает вопрос, как получали при этом прямые углы. <…> Измерив указанным образом площадь квадрата АБВГ, измеряли остаток площади прямоугольника. Исходя из того, что по линии БВ (и параллельной ей линии справа) получалась длина 40 сажен, измеряли затем длину линий, продолжавших вправо линии АБ и ГВ, составляющую 13 1/2 саж. Неясно, как получалась при этом площадь прямоугольника со сторонами 40 и 13 1/3 саж., — путем ли перемножения этих сторон, или сопоставлением прямоугольника с квадратом, исходя из того, что одна из сторон прямоугольника имела 40 саж., как и сторона квадрата АБВГ, а другая составляла 1/3 сорока саженей: отсюда могли вывести, что площадь прямоугольника равна трети «чет-верти», т. е. 1/3 от 1600. Судя по тому, что число саженей в этой трети не указано, чего не случилось бы при ее определении перемножением ее сторон (т. е. 40 на 13 1/3), можно думать, что шли вторым путем. Бросается в глаза весьма окольный путь. Вместо того, чтобы получить площадь большого прямоугольника прямым перемножением его сторон, его разбивают на части, причем измерение площади малого прямоугольника производится опять не перемножением его сторон, а более косвенным путем, и даже площадь квадрата определяется без доверия к правилу перемножения двух его сторон…».
Судя по сохранившимся источникам, пусть и немногим, мы можем судить, что арифметических знаний в XVI веке вполне хватало для проведения торговых операций и сбора налогов. А простонародью, не связанному ни с большой коммерцией, ни с фискальной службой вполне хватало знаний того, сколько в алтыне копеек, а в копейке денег.
Подробнее о системе номинального учета денежных средств
Вы читаете канал музея-заповедника «Александровская слобода», известного как #МузейИванаГрозного.
Александровский кремль – это не просто точка на географической карте. Это – уникальный дворцово-храмовый ансамбль XVI в., в котором размещалась резиденция первого русского царя, на 17 лет (1564-1581) ставшая столицей России. Кровавые события опричнины и борьба за объединения русских земель, зарождение книгопечатания и тайна смерти царевича Ивана, судьба исчезнувшей царской Либерии и семейные драмы Ивана Грозного – все это «Александровская Слобода» с ее белокаменными дворцовыми палатами, Домовым храмом Ивана IV, многочисленными историческими и художественными выставками. Ноу-хау музея – разнообразные анимационные программы и творческие экскурсии-занятия, на которых каждый посетитель становится участником действа и которые пользуются огромным успехом у российских и иностранных туристов.