Максим Андреевич Мухин родился 4 ноября 2001 года в городе Тольятти, Самарская области.
Амплуа полузащитник.
Юный Максим начинал свою карьеру в местной академии, с 10 лет тренировался у Олега Скоробогатого. Тренер говорил, что Мухин физически не превосходил сверстников, но техника, мышление, мощь и уверенность в борьбе были его преимуществом, также схватывал на лету новые знания.
В возрасте 12 лет юношей интересовалось московское Динамо, но дедушка посоветовался с академией и было приятно решение подождать до 16 лет. В 15 лет Максим решил поселиться на базе, чтобы сосредоточиться на футболе. Старший брат тоже немного тренировался, но ему не хватало характера и он ушёл в судьи.
С 2017 года играл в молодёжной команде «Крыльев Советов», тренером был Владимир Кухлевский. Тогда Максим играл в атаке, а не в опорной зоне. По словам тренера, Мухин казался зрелым и думал больше, чем сверстники.
В 2019 году переехал в Москву, получив приглашение от Локомотива. Поначалу Максим играл в резервной команде Локомотив-Казанка, в основном составе дебютировал в 2020 году. В то год стал обладателем кубка России и и занял 3 место в чемпионате России.
Дебют в сборной России состоялся на отборочном турнире чемпионата Мира 2022 года а игле со Словенией 27 марта 2021 года. Вышел на замену на 87 минуте вместо Рифата Жемалетдинова. Тот матч команда выиграла 2:1.
В мае 2021 года подписал пятилетний контракт с армейцами.