Самой древней областью математики является теория чисел. С результатами из этой области математики можно ознакомиться, например, из учебника по теории чисел А. А. Бухштаба "Теория чисел" Издательство "Просвещение" Москва . 1966г.
Известно, что во множестве натуральных чисел различают числа простые и составные.
Натуральное число n называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само число n. Из четных чисел существует только одно натуральное число 2, которое является простым. Все остальные простые числа являются нечетными. Если все натуральные числа мы разобьем на классы, в зависимости от того, какой остаток при делении натурального числа n на 4 получим, то получим 4 класса. Один класс будут составлять числа, которые без остатка делятся на 4. Второй класс будут составлять натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 1. Третий класс будут образовывать числа, которые при делении на 4 дают в остатке 2. Наконец, четвертый класс будут составлять числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3. Очевидно, все простые и нечетные числа будут во втором и четвертом классах. Во втором классе будут все натуральные числа, которые являются суммой двух квадратов, а в четвертом классе будут все натуральные числа, которые никогда суммой двух квадратов не будут. Мы это утверждение, которое было замечено Ферма еще в 17 веке, доказали в нашей статье "Проблема близнецов и другие бинарные проблемы" в 2015 году.
С уважением, Б. С. Кочкарев