Я уверен, что каждый хоть раз слышал это словосочетание «Квадратное уравнение»! Так почему же это уравнение на слуху? Почему квадратное? И как же оно решается ( тут все не так однозначно)? Давайте разбираться!
Для начала давайте поймем, что вообще представляет собой уравнение. С 5-ого класса мы знаем, что уравнением, называется выражение, в котором неизвестен один из параметров (часто записывается буквой x или a). Пример обычного уравнения (линейного): x+3=7. Даже не оперируя специальными свойствами при решении этого уравнения, банальным методом подбора, мы можем сказать, что ответ равен 4. Но в случае квадратного, нам будет тяжело отыскать неизвестный параметр таким способом. Так как же быть?
До нас уже все придумали, поэтому не будем «изобретать велосипед» и будем смотреть готовые способы решения. На самом деле, существует 13 способов решения квадратного уравнения, но разве мы будем учить 13 способов и смотреть, какой из них подойдёт для конкретного примера? Конечно, нет! Поэтому рассмотрим всего 2 самых известных, остальные скорее больше для выпендрежа и сильно не упрощают решение. Просто приведу их список:
- Разложение левой части уравнения на множители.
- Метод выделения полного квадрата (классический метод).
- Метод выделения полного квадрата (применение формулы выделения полного квадрата.
- Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
- Решение уравнений способом «переброски».
- Приведенное квадратное уравнение.
- Графическое решение квадратного уравнения.
- Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.
- Геометрический способ решения квадратных уравнений.
- Способ замены переменной при решения квадратных уравнений.
- Способ замены переменной при решения квадратных уравнений (метод среднеарифметического корней уравнения).
- Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
- Решение квадратных уравнений по формуле дискриминанта.
Тот самый дискриминант
Самый надежны, пошаговый, но самый долгий способ решения квадратного уравнения - решение через дискриминант.
Выше приведены формулы для нахождения дискриминанта и, соответственно, корней всего уравнения.
Пример использования:
Как мы видим, решение простое и доступное, но муторно постоянно проводить эти операции, искать сначала дискриминант, а потом только корни.
Но бывает так, что для решения определенных задач нам поможет только дискриминант, знак перед ним и его численное значение может нам подсказать, сколько всего корней имеет наше уравнение.
Время для этих ваших Виетов
Когда мои ученики слышат эту фамилию, они всегда впадают в ужас, хотя Теорема Виета - великолепный способ решения, если у Вас хорошо развито воображение.
Для решения квадратного уравнения таким способом, нужно добиться того, чтобы наше уравнений было приведенным, т. е. старший коэффициент (стоит перед x^2) должен быть равен 1. Если это не так, то этого очень легко добиться:
Делим каждое слагаемое нашего уравнение на этот коэффициент, вот и все!
Мы "подготовили" наше уравнение для его решения, теперь дело за малым. Можно сказать, что решение через Теорему Виета, это своего рода метод подбора:
Вот формулы для нахождения корней!
А вот и пример решения:
Как Вы видите, ничего сложного нет)