Равнопеременное движение по окружности
В занятиях 1 и 2 мы говорили об угловых координатах, угловой скорости и о координатах материальной точки в декартовой системе при равномерном движении по окружности. Теперь переходим к ситуации, когда материальная точка движется с ускорением.
Угловое ускорение
Вспомним из курса 9-го класса от том, что если тело за каждый одинаковый интервал времени увеличивает пройденный путь на одно и то же значение, то такое движение называется равнопеременным.
Точно так происходит и при движении по окружности: каждый последующий интервал времени угловая координата увеличивается на одно и то же значение по сравнению с предыдущим изменением угловой координаты.
Увеличение угла приводит к увеличению пройденной дуги, что, в свою очередь, связано с увеличением линейной скорости. Это говорит об "особом" ускорении. Если скорость направлена по касательной, то и это "особое" ускорение должно быть направлено по касательной. Такое ускорение так и называют - касательное ускорение.
Обозначают такое ускорение с индексом греческой буквой "тау".
Если есть начальная скорость и есть ускорение, то можно написать уравнение скорости:
Теперь про угловую скорость:
Появляется угловое ускорение ε:
Можно и такую формулу применить:
Как видите, мало что меняется в законах движения при переходе к угловым координатам.
Угловое ускорение имеет единицы измерения
Угловые координаты при равнопеременном движении по окружности
Мы видим, что законы движения, с точки зрения их математического описания, почти неизменны. Напишем уравнение угловой координаты тела, если есть угловое ускорение:
Вот так получается интересно. Следует иметь ввиду, что положительным направлением вращения считается вращение против часовой стрелки. Это относится и к угловой скорости и к угловому ускорению. С учетом этого в данном уравнении могут меняться знаки как и перед угловой скоростью, так и перед угловым ускорением. Например...
Материальная точка, двигаясь по часовой стрелке, и находясь в угловой координате π/6, имело угловую скорость 0,2 рад/с. В какой угловой координате будет материальная точка 8 секунд спустя, если ее угловое ускорение направлено против часовой стрелки и равно 0,05 рад/с^2.
Извлекаем из задачи начальные условия:
Как видите, я указал, что угловая скорость отрицательна, т.к. направлена по часовой стрелке. Составляем уравнение:
Подставляем время и считаем:
Если вспомнить, что 1 рад = 57,3 градуса, то наше значение в градусной мере будет:
Ответ: φ=1,6+π/2 рад = 181,7 град.
Если направление угловой скорости совпадает с направлением углового ускорения, то такое движение будет равноускоренным. Если же угловая скорость противоположно направлена угловому ускорению, то такое движение будет равнозамедленным.
Координаты материальной точки
Если уж мы знаем как найти угловые координаты, то и координаты в декартовой системе мы найдем. Вспоминаем:
Вместо угла подставим его уравнение:
Если взять производную, то найдем и скорость:
Заметьте, что в скобках перед синусом уравнение угловой скорости.
Теперь возьмем производную еще раз и найдем ускорение:
Помните, что теперь (при равнопеременном движении по окружности) у точки два ускорения: касательное и центростремительное. По этой причине такое сложное выражение получается. Ведь проектируются на ось касательное и центростремительное ускорения одновременно.
Полное ускорение материальной точки
Имея и центростремительное, и касательное ускорения, материальная точка, на самом деле, имеет одно полное ускорение, которое найти не сложно. Два вектора ускорений взаимно перпендикулярны. Значит на этих векторах можно построить прямоугольник.
По правилу сложения векторов получаем вектор полного ускорения a. Модуль этого вектора можно найти по теореме Пифагора:
Полное ускорение может использоваться в решении многих задач. Для примера можно посмотреть решение такой задачи.
На этом движение материальной точки по окружности считаем изученным. Всем всего доброго!