Полый конус с углом при вершине 2α вращается с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии. Вершина конуса обращена вверх. На внешней поверхности конуса находится небольшая шайба, коэффициент трения которой о поверхность конуса равен μ. При каком максимальном расстоянии L от вершины шайба будет неподвижна относительно конуса? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на шайбу.
Вот такой рисунок я сделал для задачи.
Укажем все силы:
Конечно же, рисунок условный. На самом деле угол вершины конуса должен быть больше. Тело, благодаря силе трения, на покоящемся конусе не скользит. Но на вращающемся конусе тело меньше давит на поверхность конуса - вес уменьшается.
По III закону Ньютона уменьшается и реакция опоры. Пропорционально величине опоры уменьшается и сила трения: тело начинает скользить вниз (вращаясь вместе с конусом). Но при соскальзывании вниз увеличивается радиус вращения тела (ведь конус вверху имеет меньший радиус, нежели внизу). Реакция опоры начинает увеличиваться и тело останавливается из-за увеличения силы трения.
Вот такое объяснение всей этой технологии. Переходим к математике. Я ось x направил вниз вдоль боковой поверхности конуса и перпендикулярно ей ось y - так будет удобно. Создадим уравнение статики по II закону Ньютона:
Здесь добавлю, что причиной движения тела по окружности является центростремительное ускорение. А причиной центростремительного ускорения являются сторонние силы (в нашем случае - часть вектора силы тяжести)
Вспомним, что центростремительное ускорение:
Тогда получаем эти же уравнения...
...вот такими.
Выразим из второго уравнения реакцию опоры:
Вспоминаем, что сила трения по закону Амонтона-Кулона:
Подставим все это в первое уравнение системы:
Сократим массу:
Выразим радиус вращения:
Еще раз взглянем на рисунок:
Теперь на нем я указал то самое расстояние L, которое необходимо найти и радиус вращения. Выразим одно через другое:
Получаем:
Это и есть ответ.