Для шара на рис. 1 с центром в начале координат на расстоянии от оси Х равному дуге Li проводим i-тое сечение шара и сечение шара с элементарным приращением ∆L. Эти сечения показаны пунктирными линиями. Элементарную площадь поверхности i-той из n частей шара ∆S между этими сечениями вычисляем как площадь боковой поверхности цилиндра с радиусом оснований Ri и высотой ∆L, так как ∆L – бесконечно малая величина. Таким образом имеем:
∆S=2πRi∆L;
Где Ri – радиус окружности i-того сечения шара.
Ri=Rcosα
Где α- угол между осью Х и радиусом R, соединяющим начало координат с концом радиуса Ri на сфере. Угол между радиусами R и Ri , так же равен α , так как эти углы при параллельных прямых (Ri и ось X ),тогда:
∆S=2πRcosα ∆L;
Угол α в радианах равен длине дуги Li в радианах.
α=Li/2πR * 2π=Li/R
∆S=2πRcos Li/R ∆L
Для верхней полусферы длина дуги в радианах Li/R изменяется от 0 до π/2, а для нижней полусферы от 0 до - π/2, т.е для всей сферы - от - π/2 до π/2, тогда площадь всей сферы будет:
И далее получаем:
Таким образом площадь сферы (поверхности шара)
S=4πR^2