Определение. Натуральное число n называется простым, если оно имеет только два делителя единицу и само число n.
Из четных чисел существует только одно число 2, которое является простым. Все остальные простые числа являются нечетными. Если все натуральные числа разобьем на классы в зависимости от того, какой остаток при делении этого натурального числа на 4 получим, то получим 4 класса. В первый класс войдут все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 0. Во второй класс войдут все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 1. В третий класс войдут все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 2. И, наконец, в четвертый класс войдут все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3. Очевидно, все простые и нечетные числа окажутся во втором и четвертом классах. Во втором классе окажутся все простые числа, которые являются суммами двух квадратов, а в четвертом классе никакое простое число не будет суммой двух квадратов. Мы это замечание ферма доказали в нашей статье "Проблема близнецов и другие бинарные проблемы", используя нашу аксиому спуска.
С уважением, Б. С. Кочкарев