Первый признак равенства треугольников
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
Предлагаю вспомнить первый признак равенства треугольников на примере решения задачи 97 из 9-го издания учебника по геометрии для 7-9 классов авторов Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняк и И. И. Юдиной под научным руководством академика А. Н Тихонова.
Условие:
Отрезки AC и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что треугольник ABC равен треугольнику CDA.
Решение:
Обозначим на рисунке угол BOA цифрой 1, BOC – цифрой 2, COD – цифрой 3 и AOD – цифрой 4.
Из главы I §6 п.11 школьникам известно, что два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. То есть в нашем случае углы 1 и 3, а также 2 и 4 являются вертикальными, а вертикальные углы всегда равны (об этом тоже рассказывается в главе §6 п.11).
Кроме того, из условия задачи мы знаем, что AO = OC и BO = OD.
В главе II §1 п.15 учебника приводится теорема, доказывающая первый признак равенства треугольников:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство этой теоремы приводить не будем – это уже сделали авторы учебника. Нам важно, что так как углы 1 и 3, а также 2 и 4 равны между собой (поскольку они смежные) и стороны AO и OC, а также BO и OD тоже равны между собой, значит треугольник BOA равен треугольнику COD, а треугольник BOC равен треугольнику AOD – ведь в них равны две стороны и углы между ними.
Поскольку треугольник BOA равен треугольнику COD (то есть они совпадут при наложении), значит стороны AB и DC равны (на рисунке показаны коричневым цветом).
Поскольку треугольник BOC равен треугольнику AOD (то есть они совпадут при наложении), значит стороны BC и AD тоже равны (на рисунке показаны зелёным цветом).
В главе II §1 п.14 учебника на странице 29 отмечается, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т.е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.
В нашем случае это означает, что поскольку треугольник BOA равен треугольнику COD и при этом сторона BO равняется стороне OD, значит противоположные им углы BAO и OCD тоже равны – на рисунке пометим их красным цветом.
Но ведь угол BAO – это ведь и угол BAC, а угол OCD – это ведь и угол ACD. То есть в треугольниках ABC и CDA сторона AB равна стороне DC, сторона AC является общей и углы между стороной AC и сторонами AB и DC тоже равны. Поэтому по первому признаку равенства треугольников эти треугольники являются равными.
Можно доказать и немножко по-другому – сказать, что в равных треугольниках BOC и AOD равны углы BCO и OAD (отметим их на картинке фиолетовым цветом), так как они лежат напротив равных сторон BO и OD, а затем показать, что угол BCO – это угол BCA, а угол OAD – это угол CAD.
То есть в треугольниках ABC и CDA сторона BC равна стороне AD, сторона AC является общей и углы между стороной AC и сторонами BC и AD тоже равны. Поэтому по первому признаку равенства треугольников треугольники ABC и CDA являются равными.
Послесловие:
Многие читатели удивятся: ведь если 3 стороны треугольника одинаковые (две коричневых, две зелёных и одна общая), то уже и так ясно, что эти треугольники равны, зачем ещё доказывать равенство красных или фиолетовых углов?
Действительно, в главе II §3 п.20 авторами учебника доказывается третий признак равенства треугольников:
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Но задача 97 находится в главе II §1 п.15 и во время её решения школьники третий признак ещё не проходили. Да и второй ещё не проходили – только первый.