Решить уравнение: m³+m²=150.

Решить уравнение: m³+m²=150;

Уравнение это читается так: эм куб плюс эм квадрат равно 150. Задание - решить это уравнение, т.е. найти все его корни. С этим уравнением справиться любой школьник, прошедший курс Алгебры за 8 класс.

Интересное уравнение, попробуем его решить. Сначала мы перенесем все в левую часть относительно знака = что бы справа остался только 0. В нашем случае положительное число150 перейдет в левую часть с противоположным знаком и станет отрицательным. Уравнение примет вид:

m³+m²-150=0;

А теперь нам надо сделать так, что бы в левой части было не сложение и вычитание, а произведение выражений. Т.е. нам надо просто разложить на множители левую часть. Для этого представим число 150 в виде суммы 125+25, а поскольку число 150 у нас отрицательное (имеет знак минус), то и сумму надо взять для отрицательных чисел (-125)+(-25), или если записать без скобок -125-25=-150.

Или если объяснить проще, то можно 150 представить как сумму 125+25 и эта сумма будет вычитаться, как вычитается число 150, т. е. наше уравнение примет вид:

m³+m²-(125+25)=0;

или если раскрыть скобки, то вид уравнение примет такой:

m³+m²-125-25=0;

Напомню, что перед скобками стоит знак минус, а в скобках два положительных числа 125 и 25, то знаки чисел в скобках меняются на противоположные. Далее я вижу что 125=5³, 25=5².

m³+m²-5³-5²=0;

Я хочу разложить на множители левую часть, используя формулы разности кубов и разности квадратов. Напомню их:

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

и

a²-b²=(a-b)(a+b)

Что бы применить формулы я запишу наше уравнение более наглядно, сгруппирую как бы кубы и квадраты.

m³-5³+m²-5²=0;

В нашем уравнение роль буквы a в формулах выполняет переменная m, а роль буквы b выполняет постоянное число 5. Запишем по формулам наше уравнение.

(m-5)(m²+5m+5²)+(m-5)(m+5)=0;

Мы все ещё не добились желаемого результата, а именно того, что бы в левой части стояло произведение двух и более множителей. Но теперь нам это будет сделать очень легко. Заметим что у двух больших слагаемых есть одинаковая скобка: (m-5) - это общий множитель у первого и второго слагаемого. Общий множитель может быть цифрой, переменной (буквой), а так же и целым выражением с переменной, стоящим в скобках, как в нашем случае (m-5). Я вынесу общий множитель за общие скобки, которые, что бы Вам было наглядно понятно, обозначу например квадратными скобками [ ].

(m-5)[(m²+5m+5²)+(m+5)]=0;

Внутри квадратных скобок я раскрываю внутренние круглые скобки, число 5 возвожу в квадрат и напишу на его месте 25. Получаю:

(m-5)[m²+5m+25+m+5]=0;

Я вижу в квадратных скобках есть подобные слагаемые 5m и m, а так же 25 и 5. Их надо привести. Но сначала я перепишу наше уравнение для наглядности, расставив подобные слагаемые с их знаками рядом. Вот что получиться.

(m-5)[m²+5m+m+25+5]=0;

Привожу подобные слагаемые! Складываю 5m и m получаю 6m. К 25 добавляю 5 - получаю 30. Т. е. 5m+m=6m; 25+5=30;

Тогда наше уравнение станет окончательно преобразовано в стандартный вид.

(m-5)[m²+6m+30]=0;

Мы разложили левую часть на 2 множителя. И это замечательно.

Осталось вспомнить когда произведение двух и более чисел равно нулю? Тогда и только тогда , когда хотя бы одно из них равно нулю.

Т. е. ab=0; тогда и только тогда, когда a=0 или b=0.

Роль переменной a (первого множителя) играет в нашем уравнение первая скобка, а именно выражение m-5 , а роль переменной b выполняет вторая квадратная скобка, а именно выражение m²+6m+30. Так и запишем, получив два уравнения:

m-5=0; или m²+6m+30=0;

Решаем первое маленькое уравнение

m-5=0;

m=5.

Второе уравнение m²+6m+30=0; у нас квадратное вида ax²+bx+c=0 и решается путем нахождения дискриминанта по формуле D=b²-4ac.

В нашем уравнении a=1, b=6, c=30. Подставляем в формулу Дискриминанта:

D=36-4*1*30=-84. Мы получили отрицательный дискриминант, а значит наше полное квадратное уравнение не имеет решений. Остаётся у нас один корень , найденный выше - это 5. Ответ: 5. Уравнение решено.

лы