Занятие 6 часть1. Плоскость в пространстве. Следы плоскости

Плоскость, как и прямая, и точка, является одним из основополагающих понятий в геометрии.

Плоскость, в зависимости от расположения в пространстве, может быть общего и частного положения.

К плоскостям частного положения относятся:

• параллельные одной из плоскостей проекций;
• проецирующие плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций.

Плоскости общего положения не параллельны и не перпендикулярны ни одной из плоскостей проекций.

Способы задания плоскостей в пространстве

Плоскость можно задать следующими способами:

1. Тремя точками. Три точки пространства однозначно задают одну и только одну плоскость. Так же говорят о задании плоскости треугольником, вершины которого и являются этими тремя точками (рис. 6.1-а).
2. Плоскость можно задать прямой и точкой (рис. 6.1-б).
3. Двумя пересекающимися прямыми (рис. 6.1-в).
4. Двумя параллельными прямыми (рис.6.1-г).
5. Плоскость можно задать следами (рис.6.1-д).

Рисунок 6.1. Способы задания плоскости

Построение следов плоскости

Следом плоскости называется линия пересечения этой плоскости с плоскостью проекций.

Поскольку следом плоскости является прямая, лежащая в плоскости проекций, для ее построения достаточно найти следы двух любых прямых, лежащих в заданной плоскости.

Рассмотрим на примере последовательность построения горизонтального и фронтального следов плоскости.

Задача 6.1.

Построить горизонтальный и фронтальный следы плоскости α, заданной треугольником АВС (рис. 6.2).

Рисунок 6.2. Исходные данные к задаче 6.1.

Решение:

Выберем в заданной плоскости две прямые и построим их следы. В качестве таких прямых можно взять стороны треугольника - АВ и ВС.

Построим сначала горизонтальные следы этих прямых. На рисунке 6.3 показано построение точек 1 и 2, которые являются горизонтальными следами прямых АВ и ВС соответственно.

Порядок построения следующий:

1. Продлим фронтальную проекцию стороны треугольника А2В2 до пересечения с осью х и отметим точку 12.
2. Продлим горизонтальную проекцию отрезка А1В1 ( на рисунке показано штриховой линией).
3. Спроецируем точку 12 на продолжение прямой А1В1 и получим точку 11.

Итак, мы получили две проекции горизонтального следа прямой АВ – точки 11, 12.

По строим в том же порядке горизонтальный след прямой ВС – точки 22и 21.

Рисунок 6.3. Построение горизонтальных следов прямых АВ и ВС.

Соединим точки 11и 21, продолжим эту прямую до оси х. Получили горизонтальный след плоскости α – прямую αх. (Рис.6.4).

Рисунок 6.4. Построение горизонтального следа заданной плоскости α.

Для построения фронтального следа заданной плоскости, нужно построить фронтальные следы прямых АВ и ВС.

Построим фронтальный след прямой ВС (рис. 6.5). Как видно из рисунка, для этого необходимо продлить проекцию В1С1 до оси х, где получим точку 31; затем надо продлить проекцию В2С2таким образом, чтобы на нее можно было спроецировать точку 31и получить фронтальный след прямой ВС — точку 32.

Рисунок 6.5. Построение фронтального следа прямой ВС.

Выполним построение фронтального следа прямой АВ, аналогично предыдущему построению, как показано на рисунке 6.6. Точка 42 является фронтальным следом прямой АВ.

Рисунок 6.6. Построение фронтального следа прямой АВ

Для завершения построения фронтального следа плоскости, заданной треугольником АВС, нужно соединить точки 32 и 42. Фронтальный след плоскости проводят до пересечения с осью х. Следы плоскости общего положения всегда имеют общую точку на оси проекций. В данном случае это ось х (рис. 6.7). Задача решена.

Рисунок 6.7. Решение задачи 6.1.