Определения тригонометрических функций в алгебре и геометрии обычно излагаются таким образом, что совершенно возникает ощущение, что в геометрии один синус, а в алгебре какой-то другой. Ниже я попробую наглядно показать, почему определения синуса (а также косинуса, тангенса и т.д.) в геометрии и алгебре (а также других разделах математики) являются всего лишь разным описанием одного и того же понятия, а вовсе не отдельными сущностями.
Итак, у нас есть прямоугольный треугольник ABC с прямым углом ACB. Согласно определению, синус [острого угла прямоугольного треугольника, например BAC] равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Соответственно, косинус - отношению длины прилежащего катета к гипотенузе.
Формулами это записывается так:
sin BAC = BC/AB
cos BAC = AC/AB
tg BAC = sin BAC / cos BAC = BC/AC
Т.к. до этого никакой заданной системы координат у нас не было, мы можем произвольно выбрать точку начала координат и направление осей. Синус (косинус и т.д.) являются свойствами угла (а не прямоугольного треугольника), поэтому начало координат удобно будет расположить именно в вершине угла.
С другой стороны, угол между осями координат - прямой. Таким образом, если мы положим ось координат "x" на составляющий угол катет AC, то катет BC будет параллелен оси "y".
Далее, согласно определению синуса, мы изучаем соотношение между катетом и гипотенузой. Изначально размеры треугольника у нас никак не заданы, поэтому мы можем присвоить одной из его сторон любые удобные нам значения. Тогда длины двух остальных сторон буду определятся пропорционально отношению сторон. Т.к. значение длины гипотенузы согласно определению находиться в знаменателе дроби, то наиболее удобным будет присвоить длине гипотенузы значение равное единице.
Также, т.к. мы переходим от геометрических обозначений к алгебраическим, то удобно будет обозначить угол как ɑ, а гипотенузу назовем Hp.
В результате точка "С" у нас будет иметь координаты (x1, 0), а точка "B" - (x1,y1), причем x1 < 1, y1 < 1
Рисуем остальную сову. При рисовании единичной окружности "внезапно" выясняется, что она проходит через точку "B" с координатами (x1, y1). Таким образом мы получаем связь между углом и точкой единичной окружности.
Т.е. становится очевидно, что длина катета BC равна координате y1, катета AC - x1, а точка (x1, y1) - находится на единичной окружности. И будет находиться при любом значении угла ɑ, т.к. гипотенуза у нас по прежнему равна 1. Иначе говоря, при любом значении угла ɑ, мы сможем построить такой прямоугольный треугольник, чтобы вершина угла была в начале координат, один из его катетов совпадал с координатной осью "x", второй параллелен оси "y" и гипотенуза этого треугольника была бы равна 1.
Из всего этого следует, что
Синусом угла называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на заданный угол
Косинусом угла называется абцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на заданный угол.