В статье представлен пример применения теории нечётких множеств для демонстрации выбора на примере покупки персонального компьютера.
Итак, рассмотрим задачу выбора покупки персонального компьютера, для выбора будем использовать следующие критерии (их может быть и больше, в лекции нам важно продемонстрировать подход, мы не настаиваем на выборе именно по этим критериям):
С1 – быстродействие;
С2 – поддержание различных программ;
С3 – стоимость.
Введем обозначение предполагаемых моделей персональных компьютеров: а1, а2, а3, а4 (здесь также может быть любое число моделей, в лекции нам важно продемонстрировать только подход).
Пусть нечёткие множества, характеризующие альтернативные варианты с точки зрения вышеуказанных критериев, представляют собой следующие множества (предполагается, что некоторыми экспертами были указаны именно значения функции принадлежности, которые характеризуют, насколько та или иная модель компьютера а1, а2, а3, а4 удовлетворяет указанным критериям С1, С2, С3).
C1 = {(a1; 0,5), (a2; 0,4), (a3; 0,2), (a4; 0,9)}, т.е. модель персонального компьютера a4 практически в полной мере удовлетворяет критерию С1 (т.к. имеет значение функции принадлежности, равное 0,9).
C2 = {(a1; 0,3), (a2; 0,4), (a3; 0,6), (a4; 0,2)};
C3 = {(a1; 0,2), (a2; 0,l), (a3; 0,7), (a4; 0,4)}, т.е. модель персонального компьютера a2 практически в полной мере НЕ удовлетворяет критерию С3 (т.к. имеет значение функции принадлежности, равное 0,1).
Критерии имеют различную степень важности, результаты их попарного сравнения с использованием метода Саати представлены матрицей M следующего вида:
Заметим, что согласно методу Саати для каждой пары элементов универсального множества эксперт оценивает преимущество одного элемента над другим по отношению к свойству нечеткого множества. Такие парные сравнения удобно представлять следующей матрицей:
Таким образом, в текущем примере критерий С1 имеет одинаковую степень важности с самим собой, поэтому отсутствует преимущество у С1 по отношению к С1 (аналогично С2, С3 по отношению к самим себе).
Критерий С1 имеет почти слабое преимущество перед критерием С2 (т.к. значение равно 2), критерий С3 имеет почти явное преимущество перед критерием С1 (т.к. значение равно 6) и абсолютное преимущество перед критерием С2 (т.к. значение равно 9).
Далее найдем собственное значение этой матрицы M (используя для этого вопросно-ответную систему Wolfram|Alpha), для этого необходимо зайти на главную форму Wolfram|Alpha по ссылке: https://www.wolframalpha.com/
и в командную строку внести команду с формулой:
eigenvalues [{1,2,1/6}, {1/2, 1, 1/9}, {6,9,1}]
Собственные числа матрицы указаны в Results, а собственные векторы - в Corresponding eigenvectors:
Возьмём собственный вектор матрицы Саати v1, таким образом: w1 =0.18344; w2 = 0.100951; w3 = 1, тогда коэффициенты относительной важности критериев можно рассчитать:
m1 = 3 · 0.18344 = 0.55032; m2 = 3 · 0.100951 = 0.302853; m3 = 3 · 1 = 3.
Округлим результаты до 2 знаков после запятой (для удобства):
m1 = 0.55; m2 = 0.3; m3 = 3.
Модифицируем нечёткие множества C1, C2, C3 следующим образом:
Проведем все необходимые расчеты, получим результат (для удобства округлим результаты до 2 знаков после запятой, там где это возможно), представляющий собой модифицированные нечёткие множества C1, C2, C3 следующего вида:
Получим множество D, содержащее минимальные значения а1, а2, а3, а4:
а1 = min {0.68, 0.7, 0.03} = 0.03,
а2 = min {0.6, 0.76, 0.001} = 0.001,
а3 = min {0.41, 0.86, 0.34} = 0.34,
а4 = min {0.94, 0.62, 0.06} = 0.06,
Таким образом, получили множество D ={(а1; 0.03), (а2; 0.001), (а3; 0.34), (а4; 0.06)}, при этом максимальное значение функции принадлежности имеет альтернатива а3, которую и необходимо выбрать в качестве возможной покупки.
В качестве Упражнения 1 предложите свою задачу, заключающуюся в выборе чего-либо, исходя из предложенных вами критериев. Задайте самостоятельно нечёткие множества, характеризующие альтернативные варианты с точки зрения ваших критериев, а также укажите самостоятельно матрицу парных сравнений Саати для ваших критериев. Постановку задачи укажите в виде комментария под лекцией. Последовательно проведя соответствующие расчёты (как показано в лекции), укажите, какой из вариантов стал итоговым, т.е. наиболее возможным для выбора.
В качестве Упражнения 2 найдите в сети Интернет матрицу парных сравнений для решения какой-либо задачи, укажите в виде комментария под лекцией ссылку на источник информации, рассчитайте с использованием вопросно-поисковой системы Wolfram Alpha наиболее подходящий для выбора вариант, приведите полученные результаты в виде комментария под лекцией.
Например, по ссылке https://edu.tltsu.ru/sites/sites_content/site216/html/media67140/lec1_is-2_2020%20(1).pdf , используя таблицу 3, можно осуществить выбор наилучшего поставщика.
или например. см. стр. 73 в https://studylib.ru/doc/695157/lekciya-1.-osobennosti-zadach-i-e-lementy-teorii-prinyatiya-re..., где имеется перечень как объектов для выбора, так и перечень критериев.