Карьера Олега Копаева практически целиком связана с армейским спортом. Он начал играть в футбол в «Спартаке» из своего родного Ельца. Но уже через год его призвали в армию. Сначала был воронежский ОДО. Затем попытка в ЦСКА, где Копаев так и не смог закрепиться, годичная ссылка в львовский СКА. И наконец — СКА ростовский. Именно там форвард стал настоящей легендой: больше 250 матчей, больше сотни голов, вызов в сборную СССР, бронза на Евро-64.
Копаев был любимцем ростовской публики. Причем он был популярен в том числе в местах не столько отдаленных. Например, в 1966 году у него состоялось неожиданное знакомство с криминальным миром.
«За второе место игрокам СКА вручали в облисполкоме золотые часы. Когда торжественная часть завершилась, вышел я на улицу и направился к магазину. Навстречу парнишка, по виду — из блатных. Увидел меня, отозвал за угол. Рассказал, что на днях из тюрьмы вышел. Сидел в Новочеркасске. Потом сообщил радостно: «Спасибо тебе» — «За что?» — «Благодаря твоим голам кучу денег выиграл. Мы в тюрьме спорили, кто из футболистов забьет — так я всегда на тебя ставил», — рассказывал Копаев в интервью «Спорт-Экспрессу».
Но и это не конец. Помимо слов благодарности он получил от криминального мира поддержку. Как минимум на словах.
«Закончился разговор неожиданно. Спрашивает: «С Бецой (главным тренером СКА) ладишь? Не зажимает тебя?» — «Все нормально». — «С Матвеевым (капитаном команды) у тебя как?» — «Тоже все в порядке. А что?» — «Если будут обижать — любого порежу. Только свистни», — вспоминал Копаев.
После этой истории Копаев пробыл в Ростове еще пять лет. В 1968-м он завершил карьеру игрока и потом еще три года работал в качестве ассистента главного тренера СКА. Приходилось ли ему обращаться к неожиданным знакомым для решения вопросов, доподлинно неизвестно. Хотя с тем, как Копаева любили в Ростове-на-Дону, можно предположить, что никаких неразрешимых проблем у него быть и не могло.
После работы в СКА Копаев остался в армии. Несколько лег он прожил в ГДР, где тренировал футбольную команду группу советских войск.
Умер Копаев в 2010 году в Москве в возрасте 72 лет.