Все натуральные числа подразделяются на простые числа и составные.
Определение. Натуральное число n называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само число n.
Из четных натуральных чисел имеется только одно простое число 2. Все остальные простые числа являются нечетными. Если все натуральные числа n мы разобьем на классы, смотря по тому, какой остаток при делении этого числа n на 4 получится, то мы получим четыре класса. Один класс составляют все натуральные числа, которые при делении на 4 дают остаток 0. Второй класс образуют все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 1. Третий класс образуют все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 2 и, наконец, четвертый класс образуют все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3. Очевидно, все нечетные простые числа окажутся во втором и четвертом классах. Во втором классе все простые числа являются суммами двух квадратов, тогда как все простые числа из четвертого класса никогда суммой двух квадратов не являются. Мы это утверждение доказали в нашей статье "Проблема близнецов и другие бинарные проблемы", используя аксиому спуска, введенную нами в статье " К методу спуска Ферма". Все нечетные простые числа синтезируются из двух нечетных простых чисел 5 и 3. Из числа 5 получаются все простые числа, являющиеся суммами двух квадратов. Для этого к числу 5 добавляем 4 столько раз, пока не получим простое число и так далее. Аналогично получаются и все простые числа из числа 3, которые никогда не будут суммами двух квадратов. Для этого к числу 3 мы добавляем 4 столько раз, пока не получим простое число и так далее.
С уважением, Б. С. Кочкарев