В замечаниях Ферма, оставленных на полях его книги "Арифметика" Диофанта есть одно замечание относительно простых чисел. Известно, что все натуральные числа подразделяются на простые числа и составные.
Определение. Натуральное число n называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само число n.
Закономерностями образования простых чисел интересовались математики еще со времен Евклида. Ферма эаметил, что все простые числа кроме числа 2 представимы в виде 4к + 1 и 4к - 1, причем простые числа первого вида являются суммами двух квадратов, а простые числа второго вида никогда не могут быть суммой двух квадратов. Мы это замечание Ферма полностью доказали в нашей опубликованной статье "Проблема близнецов и другие бинарные проблемы", используя нашу аксиому спуска, введенную в другой нашей статье "К методу спуска Ферма". То, что все простые числа представимы в виде 4к + 1 и 4к - 1, где к целое число следует из того, что все простые числа кроме числа 2 являются нечетными мы показали, разбив все натуральные числа на классы в зависимости от того, какой остаток при делении натурального числа на 4 получается. Все нечетные числа оказались в двух классах, в классе, где остаток равен 1 и в классе, где остаток равен 3. Далее мы показали, что все простые числа, представимые в виде 4к + 1 являются суммой двух квадратов, а простые числа, представимые в виде 4к -1 никогда не будут суммой двух квадратов. Это легко доказывается, используя обычный калькулятор.