Был такой математик, в конце 18 - начале 19 века. Современник Наполеона и Кутузова. В Санкт-Петербургскую Академию входил. Ему принадлежат важные результаты вполне школьного уровня, которые мы почему-то в школе не проходим.
Еще это он придумал обозначение lim, ввел термин "ряд Тейлора" и изложил теорию бесконечно малых почти по-современному.
Но давайте рассмотрим его "школьного уровня" результаты. Например, основная теорема полигонометрии: площадь грани многогранника равна сумме площадей остальных граней, умноженных на косинусы углов, образованных ими с первой гранью.
Это обобщение очевидного результата для треугольников, который легко распространяется на многоугольники; а вот аналогия в пространстве уже не выглядит такой очевидной.
Впрочем, если подумать, то очевидно: ведь произведение площади грани на косинус угла есть площадь проекции этой грани на плоскость первой грани, причем с учетом знака: если угол больше 90 градусов, то площадь получится отрицательная. А спроецировав все грани на одну плоскость, мы получим исходную грань ровно один раз; всё, что окажется вне её, сократится, а наложения внутри также сократятся.
Давайте проверим на простых примерах. Например, для куба одна грань параллельна данной (косинус 1), а остальные перпендикулярны (косинус 0), то есть площади двух параллельных граней равны.
Для параллелепипеда, полученного из куба смещением одной грани вперед и наклоном "вертикальных" ребер на один и тот же угол, получим опять параллельную грань той же площади; следовательно, остальные должны сократиться. Ну, две перпендикулярны, а еще две наклонены, одна на угол альфа градусов, а другая на угол 180-альфа градусов. Косинусы этих углов отличаются знаком, а площади этих граней равны.
Для правильного тетраэдра: все грани равны, двугранные углы между гранями тоже равны и косинус такого угла равен 1/3. Грань образует такой угол со всеми тремя оставшимися гранями.
Кстати, мы могли бы определить угол между гранями тетраэдра на основе этой теоремы: небольшая, но польза.
Еще этому автору принадлежит такая теорема об оптимальных многоугольниках:
Из всех выпуклых многоугольников, стороны которых имеют данное направление и периметр которых имеет заданную длину, наибольшую площадь имеет многоугольник, описанный вокруг окружности.
Я много раз упоминал, что ключом к оптимизации часто служит симметрия. Максимально симметричный объект как правило и является решением оптимизационной задачи на данном классе объектов. Наибольшую площадь при данном периметре имеет круг, из правильных многоугольников - тот, у которого больше сторон, из четырехугольников - квадрат, и так далее. Теорема Люилье в этом контексте очевидна.
Она имеет обобщение, именуемое теоремой Линделёфа:
Среди всех выпуклых многогранников трёхмерного евклидова пространства с данными направлениями граней и с данным объёмом наименьшую площадь поверхности имеет многогранник, описанный вокруг шара.
Тоже понятно.
Ещё Люилье занимался сферической геометрией. Отличие сферы от плоскости в том, что у сферы есть "встроенная" единица длины: радиус R. Поэтому все расстояния на сфере можно измерять в угловой мере. Это же дуги. Аналогом прямых служат "большие круги": окружности того же радиуса, что и сама сфера. Это "геодезические", линии минимальной кривизны, то есть наиболее прямые из всех, что есть.
На сфере нет принципиальной разницы между углами и длинами, и то и другое безразмерно и измеряется в радианах. Теорема Пифагора, например, имеет такой вид:
cos(C)=cos(A)cos(B)
Если треугольник маленький, косинусы можно разложить по Тейлору и получить обычную теорему Пифагора как приближение.
Люилье получил аналог формулы Герона, которая выражает площадь S произвольного сферического треугольника через его стороны. Она имеет вид
где p - полупериметр (2p=A+B=C).
Если треугольник маленький, то тангенс приближенно равен своему аргументу, 4 в знаменателе вынесется из-под корня и сократится, а R внесется под корень в четвертой степени и превратит углы в длины. Получим обычную формулу Герона.
Давайте применим формулу для треугольника с вершиной на полюсе и двумя на экваторе, причем все три угла прямые. Теорема Пифагора, кстати, верна, так как все три косинуса равны нулю.
У нас все три стороны равны друг другу и имеют длину в четверть экватора (большого круга), это прямой угол, п/2 в радианах. Периметр получается 3п/2, а полупериметр 3п/4. За вычетом стороны, получим п/4.
Квадрат тангенса половинного угла х/2 равен (1-cos x)/(1+cos x). Возведем обе части формулы в четвертую степень и справа получим четыре тангенса в квадрате. Заменим их на косинусы по формуле половинного угла. Три множителя равны друг другу, там косинусы п/4, а самое первое - там косинусы 3п/4. Их можно заменить на косинусы п/4, поменяв знак. В итоге первое и второе слагаемое сократятся, останется два равных:
Извлекая корень, приходим опять к формуле половинного угла: тангенс слева равен тангенсу п/8. То есть, S/(4R²)=п/8. Или 8S=4пR².
В последней формуле справа стоит площадь всей сферы. То есть треугольник занимает одну восьмую часть.
Справедливо.
Но интересно, как он до этой формулы дошел?