Приветствую, уважаемый читатель!
Вашему вниманию предлагается интересная задача из области комбинаторики, предполагающая подсчёт числа возможных автомобильных номеров. Т.е. в некотором смысле речь пойдёт о подсчёте "энтропии" (множества возможностей) автомобильных номеров (подробнее об энтропии в соответствующей статье). Но обо всём по порядку.
Определения
Комбинаторика – раздел математики, изучающий способы подсчёта возможных комбинаций и/или расположений каких-либо элементов с учётом тех или иных правил.
Т.е. комбинаторика рассматривает количество вариантов того, каким образом с учётом данных правил может существовать некоторый математический объект.
Простой пример
Есть три города (А, Б, В). Из города А в город Б ведут 2 дороги, а из города Б в город В – 3. Других маршрутов нет. Нужно определить, сколько существует возможных маршрутов из города А в город В.
Решение: ясно, что для каждого из двух возможных вариантов путей из А в Б существует три возможных пути из Б в В. Т.е. общее число возможностей равно 2х3=6.
Ответ: существует 6 возможных маршрутов из А в В.
Усложняя
Пойдём далее и добавим четвертый город. Условно обозначим его буквой "Г". Пусть существует 5 возможных способов добраться из города В в город Г.
Выясним, сколько существует маршрутов из А в Г.
Решение: для каждого из уже подсчитанных 6 (шести) маршрутов из А в В существует 5 маршрутов из В в Г. Стало быть, общее число маршрутов из А в Г равно 6*5=30 (см. рисунок).
Ответ: существует 30 маршрутов из А в Г.
Комбинаторное правило умножения
Исходя из вышесказанного, сформулируем общее абстрактное правило подсчёта возможных конфигураций существования некоторого математического объекта, которое называют "комбинаторным правилом умножения".
Пусть имеется некоторый математический объект Х. Пусть он состоит из N элементов, причём первый элемент допускает существование N₁ возможных состояний себя, второй допускает существование N₂ возможных состояний себя, третий – N₃ возможных состояний и так далее до элемента с номером n, который допускает Nₙ возможных состояний себя.
Тогда общее число возможных конфигураций (Sₓ) данного математического объекта Х будет равно произведению, множителями которого являются каждое из чисел N₁, N₂, N₃, <...>, Nₙ.
Т. е. Sₓ = N₁*N₂*N₃*<...>*Nₙ.
Задача о количестве гражданских автомобильных номеров РФ
Подсчитаем с помощью правила выше количество гражданских автомобильных номеров в РФ.
Решение: заметим, что не все буквы алфавита задействованы в автомобильных номерах. Отсутствуют исконные буквы кириллицы (наподобие Ф и Ю).
- Всего используемых букв 12: А В Е К М Н О Р С Т У Х.
- Количество используемых цифр равно 10: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Учтём, что комбинация из трёх нулей подряд (000) не используется.
- Количество субъектов равно 85.
Тогда исходя из комбинаторного правила умножения количество возможных номеров равняется произведению: 12*(10*10*10-1)*12*12*85 = 146 733 120 // единица вычтена, так как "000" не используется.
Ответ: существует 146 733 120 возможных гражданских автомобильных номеров РФ. Если проводить аналогию с термодинамикой, то можно в некотором смысле утверждать, что мы подсчитали своего рода "энтропию номеров", т.е. количество способов W (микросостояний), которыми можно реализовать данное макроскопическое состояние под названием "автомобильный номер".
Оценим численность населения России:
Численность постоянного населения России на 1 января 2021 года, по предварительной оценке Росстата, составила 146,24 млн человек, что на 510 тыс. человек меньше, чем на 1 января 2020 года (146,75 млн человек). Источник: РБК.
Любопытно, что полученный результат подсчета почти идеально совпадает с численностью населения. Т.е. мысленно представив, что абсолютно каждый житель России имеет автомобиль с гражданским автомобильным номером, мы можем точно гарантировать то, что при использовании структуры номера выше и генерируя все новые и новые номера, в стране нельзя встретить двух человек с двумя одинаковыми автомобильными номерами.
Спасибо за внимание!