Недавно разбирали одну из вступительных задачек в МАИ по математике. Разбирал её с несколькими учениками, многие задумывались над решением. У всех возникал стопор. Уравнение кажутся на первый взгляд простыми, но как только человек начинает расписывать, то сложность быстро растёт, а уверенность в том, что дойдешь до конца — падает. Это связано с тем, что некоторые системы уравнений рассчитаны на применения математических хитростей. Про одну из таким систем пойдет речь в сегодняшней статье.
А пока попрошу вас подписаться на мой канал в telegram IT mentor . Там я пишу краткие заметки и наблюдения по физике, математике, программированию, железу и технике 💡
Задача
Решисть систему уравнений: x + x∙y - y = 7 и x²∙y - x∙y² = 6
Посмотрите немного на эту систему и остановитесь на этом моменте. Попробуйте взять черновик в руки и решить задачку самостоятельно. Сможете ли вы отыскать решение методом подбора? Сколько решений (пар точек X;Y) имеет данная система? Если совсем не получится, то продолжайте читать дальше...
Решение:
Очень часто учащиеся пытаются применить ко всем системам уравнений стандартный способ «выражения и подстановки», который заключается в том, чтобы избавиться от одной переменной, выразив её через другую, а затем это выражение подставить во второе (нетронутое) уравнение системы. Получить уравнение от одной переменной с одной неизвестной и благополучно его решить. Но всегда ли всё так просто?
Как видите, у нас получается уравнение 4-й степени, и даже не хочется продолжать его решать. На то есть две причины:
1. Всё тяжелее становится уследить за ходом преобразований и всё легче допустить ошибку
2. Решать в общем виде уравнение 4й степени заметно труднее, чем квадратные уравнения.
Так можем ли мы ограничиться в один момент времени решением только квадратных уравнений? На самом деле да, можем. И это получится, если мы внимательно посмотрим на систему уравнений, выделим похожие части в обоих уравнениях и заменим их на новые переменные.
И вот как это можно сделать:
Значит наша система имеет 4 решения (4 пары точек (x;y), удовлетворяющих обоим уравнениям системы).
Как это проверить? Можно построить графики. Это можно сделать самостоятельно, используя асимпотический анализ или в графопостроители в онлайн-режиме.
Задача решена, аналитическое и графическое решения взаимно дополняют друг друга. Понравилась ли вам задачка? Похожа на олимпиадную или слишком легкая?
Понравилась статья? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram