В лекции рассматривается понятие нечёткого высказывания, а также приводятся расчётные формулы для определения логических операций над нечёткими высказываниями.
Определение нечёткого высказывания. Сформулируем определение нечёткого высказывания, нечётким высказыванием называется связное повествовательное предложение, выражающее законченную мысль, об истинности или ложности которого можно судить только с некоторой степенью уверенности. Эта степень уверенности называется степенью истинности высказывания и характеризуется действительным числом из отрезка от 0 до 1.
Нечёткие высказывания можно обозначать прописными буквами латинского алфавита, например, A, B, C – нечёткие высказывания.
Определение отображения истинности.
Для задания степени уверенности вводится понятие отображения истинности M, при котором каждому нечёткому высказыванию ставится в соответствие некоторое действительное число из отрезка [0, 1], характеризующее степень истинности этого нечёткого высказывания.
Пусть A, B, C – нечёткие высказывания, они имеют свои значения степеней истинности, которые обозначаются M(A), M(B) и M(C) соответственно.
Нечёткость приведённых высказываний заключается в лингвистической неопределённости понятий «интересная дисциплина» и «хорошо программировать», а нечёткое высказывание C имеет лингвистическую неопределённость, связанную с понятием «легко сдавать», а также неопределённость, связанную с тем, что этот процесс рассматривается в некотором промежутке времени в будущем.
Применим унарную логическую операцию отрицание к нечётким высказываниям A, B, запись на естественном языке которых показана ранее, тогда отрицание нечёткого высказывания A на естественном языке будет «Теория нечётких множеств НЕ является интересной дисциплиной» со значением истинности, равным 1- 0,7, т.е. равным 0.3,
отрицание нечёткого высказывания B «Студент Иванов нехорошо программирует» со значением истинности, равным 1 - 0,2, т.е. равным 0,8, а высказывание С «Я легко НЕ сдам зачет по теории нечётких множеств» со значением истинности, равным 0,6.
Далее рассмотрим бинарные операции с нечёткими высказываниями.
Сами расчётные формулы для определения нечёткой конъюнкции (нечёткого логического умножения) приведены ниже:
Например, для нечётких высказываний, сформулированных ранее, нечёткой конъюнкцией нечётких высказываний А и B будет являться новое нечёткое высказывание «Теория нечётких множеств является интересной дисциплиной И Студент Иванов хорошо программирует», имеющее значения степени истинности по основной формуле, равное 0.2 (как минимум из двух степеней истинности 0,7 и 0,2), по алгебраической конъюнкции, равное 0.14, а по граничной формуле, равное 0.
Например, для нечётких высказываний, сформулированных ранее, нечёткой дизъюнкции нечётких высказываний А и B будет являться нечёткое высказывание «Теория нечётких множеств является интересной дисциплиной ИЛИ Студент Иванов хорошо программирует», имеющее значения степени истинности по основной формуле, равные 0.7 (как максимум из двух чисел, соответствующих степеням истинности нечётких высказываний А и B), по алгебраической конъюнкции, равное 0.76, а по граничной формуле, равное минимуму из двух чисел, первое из них представляет собой сумму 0,7 и 0,2, т.е. равно 0,9, а второе число, равное единице, т.е. минимум равен 0,9, следовательно и граничная логическая дизъюнкция также имеет степень истинности, равную 0,9.
Для нечётких высказываний «Теория нечётких множеств является интересной дисциплиной» и «Студент Иванов хорошо программирует»
нечёткая импликация формирует новое нечёткое высказывание, которое на естественном языке читается как «Если Теория нечётких множеств является интересной дисциплиной, то Студент Иванов хорошо программирует», степень истинности которого по формуле, предложенной Л. Заде, равняется max{min {0.7; 0.2}; 1 - 0.7}, т.е. равняется 0.3, а по формуле, предложенной Е. Мамдани, равняется min{0,7; 0,2}, т.е. равняется 0,2.
Для высказываний, предложенных ранее, «Теория нечётких множеств является интересной дисциплиной» и «Студент Иванов хорошо программирует»
нечёткая эквивалентность формирует новое нечёткое высказывание, которое на естественном языке читается как «Для того, чтобы Теория нечётких множеств являлась интересной дисциплиной, необходимо и достаточно, чтобы Студент Иванов хорошо программировал», степень истинности которого равняется 0,3.
Упражнение. Для нечётких высказываний A и B, имеющих степени истинности M(A) и M(B), значения которых представлены в таблице ниже, определите степени истинности сложных нечётких высказываний:
- отрицание нечёткого высказывания A,
- отрицание нечёткого высказывания B,
- нечёткая конъюнкция нечётких высказываний A и B (по основной формуле, алгебраическая конъюнкция и граничная конъюнкция),
- нечёткая дизъюнкция нечётких высказываний A и B (по основной формуле, алгебраическая дизъюнкция и граничная дизъюнкция),
- нечёткая импликация нечётких высказываний A и B (по всем приведённым в лекции формулам),
- нечёткая эквивалентность нечётких высказываний A и B.