В этой статье будем разбирать способы решения системы линейных уравнений. Причем уравнения в системе диофантовы, т.е. коэффициенты и наборы решений в таких уравнениях - целые или натуральные числа. Иначе их называют уравнения в целых числах.
Фигурная скобка в системе уравнений, означает что набор/наборы решений были верными и для первого линейного уравнения и для второго линейного уравнения.
Решением системы уравнений - являются значения переменных, которые обращают все уравнения системы в верное равенство.
Система линейных уравнений может иметь бесконечно много решений, одно решение, либо не иметь решений совсем.
А теперь давайте решим нашу систему уравнений двумя способами! И не забывайте ставить лайк и подписываться на мой канал.
Метод подстановки
В этом методе нам нужно выразить одну переменную через другую. Это значит привести уравнение к виду, когда в левой части находится одна переменная с коэффициентом 1, а вторая переменная и свободный член находится в правой стороне.
Поэтому всегда выгодно выражать переменную у которой изначально коэффициент 1, через вторую переменную.
В нашем случае и при а и при b коэффициент равен единице. Поэтому мы можем выразить как а через b, так и b через а.
a + b = 8 a = 8 - b или b = 8 - a
После того как мы выразили одну из переменных через вторую, нужно полученное выражение, подставить во второе уравнение, вместо этой переменной. Таким образом мы получим уже уравнение с одной переменной и сможем его решить.
Давайте рассмотрим вариант когда a мы выразили через b.
Т.е a = 8 - b
Теперь, когда мы знаем, что b = 2, мы можем подставить это значение в первое уравнение:
a = 8 - b a = 8 - 2 a = 6
Ответ: a = 6, b = 2
Метод подбора
Для решения системы уравнения таким способом нужно перебирать пары чисел, которые будут решением одного уравнения, подставлять эти пары во второе уравнение, проверяя являются ли они и для второго уравнения решением. Если да, то такая пара является решением системы уравнений
Проще вначале находить пары решений для 5a + 4b = 38
Давайте будем перебирать через переменную а
Если а = 1, то 5 + 4b = 38, т.е. 4b = 33 - уравнение не будет верным ни при каком целом b, перебираем дальше
Если а = 2, то 10 + 4b = 38, 4b = 28, b = 7. У нас есть пара решений уравнения, нужно подставить их во второе. 2 + 7 = 8 - неверно. Значит эта пара не является решением системы линейных уравнений.
Если а = 3, то 15 + 4b = 38, b = 23/4 видим что в таком случае нет целых b.
Если а = 4, то 20 + 4b = 38, b = 18/4 тоже нет целых b.
Если a = 5, то 25 + 4b = 38, b = 13/4 - нет целых b.
Если а = 6, то 30 + 4b = 38, b = 8/2, b = 4. Теперь давайте проверим будет ли эта пара являться решением второго линейного уравнения 6 + 2 = 8 - верно. Значит а = 6 и b = 2 являются корнями системы линейных уравнений.
Если а = 7, то 35 + 4b = 38, b = 3/4, опять нет целых b при которых линейное уравнение будет верно.
Рассматривать значения а больше 7 не имеет значение, потому что при а = 8, 40 + 4b точно больше 38.
Пишите в комментариях какой метод решения системы линейных уравнений с целыми числами вам понятнее и проще? И подписывайтесь на мой канал!