Пациенту ввели внутривенно дозу раствора, содержащего изотоп 24/11 Na (ввиду невозможности форматирования текста на данной платформе приходится вводить так: первое число - массовое/второе - зарядовое).
Активность 1 см куб. данного раствора a0=2000 распадов в секунду. Период полураспада изотопа 24/11 Na равен T=15,3 ч. Через t = 3 ч 50 мин активность 1 см куб. крови пациента стала а = 0,28 распадов в секунду. Каков объём введённого раствора, если общий объём крови пациента V = 6 л? Переходом ядер изотопа 24/11 Na из крови в другие ткани организма пренебречь.
Вот такая неожиданная задача. Начнем с того, что активностью называют мгновенную скорость распада, т.е. сколько ядер распадается за одну секунду.
где ΔN - количество распавшихся ядер, Δt - время распада.
Но нужно понимать, что каждое мгновение количество распавшихся ядер будет меняться. Представьте себе, что у нас есть N0 ядер. Тогда через время t по закону радиоактивного распада их станет
где T - период полураспада, выраженный в тех же единицах, что и t. Чтобы найти количество распавшихся ядер, нам нужно от N0 отнять N:
Давайте представим, что у нас 10 миллиардов ядер. Период полураспада равен 1 час = 3600 с. Сколько ядер распадется за секунду?
И мы видим, что активность этого вещества
А вот за 100 секунд их распалось бы
А средняя активность в этом временном интервале была бы
Видим, что активность изменилась. Изменилась по той причине, что оставшихся ядер с каждой секундой становиться меньше. Мгновенную активность на сотой секунде нужно вычислять от изменения количества ядер от 99-ой секунды до 100-й секунды:
Активность подчиняется закону радиоактивного распада. Точно ее можно вычислить по формуле:
Где A0 - начальная активность, A - активность через время t. Эту формулу можете получить и сами, но она относится к стандартным формулам, которые не требуют вывода.
Все это было прелюдией к задаче. Теперь само решение.
В задаче активность указана не в Беккерелях, а в Бк/см куб., т.е. активность единицы объема. Тогда весь объем раствора будет обладать активностью
А0 - активность раствора, V0 - объем раствора.
Будучи введенным в кровь пациента, весь раствор равномерно распределяется по крови. Тогда в крови происходит столько же распадов в секунду. Значит активность крови ровно такая, как и активность раствора.
Спустя 3 часа 50 мин (230 минут) количество распадов в секунду в 1 см куб. крови изменилась. Но объем крови был увеличен на объем раствора при его введении:
А активность, с одной стороны, составила:
А с другой:
Приравняем правые части уравнений:
Подставим значения:
Ответ: V0 = 1 см куб.