Прилетела задача по теоретической механике:
Вертикальный вал AB, вращающийся с постоянной угловой скоростью w, закреплен подпятником в точке A и цилиндрическим подшипником в точке B. К валу жестко прикреплен невесомый стержень длиной l с точечной массой m на конце. Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника A и подшипника B.
Решаем вариант № 3
Решение:
Если предположить, что точечная масса m расположена на конце стержня, перпендикулярном валу AB, то реакции подшипников A и B можно рассчитать следующим образом:
Центробежная сила, действующая на точечную массу m, дана F = mw^2l, где w - угловая скорость вала AB, а l - длина стержня.
Вес точечной массы m определяется W = mg, где m - масса точечной массы, а g - ускорение силы тяжести.
Силы, действующие на стержень, - это центробежная сила F, масса W и натяжение T в стержне.
Вертикальные составляющие сил должны уравновешиваться, поэтому Tcos(a) = W + B, где a - угол между стержнем и вертикалью, B - реакция на опоре B, а T - напряжение в стержне.
Горизонтальные составляющие сил также должны уравновеситься, поэтому Tsin(a) = F - A, где A - реакция на опоре A.
Мы также знаем, что чистый вращающий момент на стержне в точке A равен нулю, поэтому вращающий момент, вызванный натяжением стержня, уравновешивается вращающим моментом, вызванным реакцией на опоре B.
Таким образом, мы имеем следующую систему уравнений:
Tcos(a) = W + B
Tsin(a) = F - A
Tb = Fl/2
Подставляя значения m, w, l и a, получаем:
F = 64,8 Н
W = 58,8 Н
l = 0,6 м
a = 90 градусов
Подставляя эти значения в систему уравнений и решая, получаем:
T = 155,33 Н
A = 40,15 Н
B = 174,15 Н
Таким образом, реакция на опоре A равна 40,15 Н, а реакция на опоре B равна 174,15 Н.