Сегодня мы разберём задание №4139 из банка тестовых заданий для ЕГЭ ФИПИ. Это задание «повышенного» уровня сложности.
Напоминаю, для подписчиков предусмотрена возможность получения решений в «вордовском» .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками.
Кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
Решите систему неравенств:
Рассуждаем
Система довольно громоздкая. В первом логарифмическом неравенстве неизвестная стоит не только в подлогарифмическом выражении, но и в основании. Во втором – многочлен третьей степени, при этом есть неизвестная в знаменателе.
Начинать решать такие громоздкие выражения необходимо с установления области допустимых значений (ОДЗ). Подлогарифмическое выражение может быть только положительным, основание логарифма – положительным, не равным единице. Знаменатели не должны быть равны нулю.
Далее в первом неравенстве будет удобно перейти к неравенству логарифмов с одинаковыми основанием. А от неравенства логарифмов – к неравенству подлогарифмических выражений. При этом необходимо не забыть, что функция логарифма возрастает, когда основание больше единицы, и убывает, когда основание меньше единицы. Поэтому при переходе к неравенству подлогарифмичпеских выражений мы получим совокупность двух неравенств.
Во втором неравенстве удобно будет всё перенести влево и привести к общему знаменателю, а потом умножить обе части на знаменатель (поскольку в ОДЗ уже учтено, что знаменатель не равен нулю, мы можем это сделать). Получится неравенство четвёртой степени. Решить его можно будет после разложения на множители.
Последним шагом будет нахождение пересечения решений для первого и второго неравенства.
План решения
- Найдём ОДЗ, учитывая ограничения на логарифмические выражения и на знаменатели дробей.
- В первом неравенстве перейдём к неравенству логарифмов с одинаковым основанием. Затем перейдём к совокупности неравенств подлогарифмических выражений, учитывая различное поведение логарифма при основании больше и меньше единицы.
- Во втором неравенстве перенесём все члены влево и приведём выражение к общему знаменателю. Затем умножим обе части на знаменатель.
- Упростим полученную совокупность неравенств и найдём пересечение в системах.
Решение
Исходная система:
Поскольку в неравенстве присутствуют логарифм и дроби – необходимо найти ОДЗ:
Представим правую часть первого неравенства в виде логарифма с основанием левой части:
Из основания данного логарифма следует, что на первой области ОДЗ функция логарифма всюду убывает, а на второй – всюду возрастает. Следовательно, на первой области ОДЗ при переходе к подлогарифмическим выражениям надо заменить знак, а на второй – сохранить. Таким образом, получаем переход к совокупности:
Первая система в совокупности решений не имеет. Вторая система даёт совместную область решений:
Решаем второе неравенство.
Переносим все члены влево и умножаем обе части на знаменатель (он не равен нулю по ОДЗ, поэтому мы можем так сделать). Учтём при этом, что знаменатель на всей области ОДЗ отрицателен, и, следовательно, знак надо заменить на противоположный :
Приводим подобные и переносим все члены влево:
Выносим общий множитель за скобки:
Квадрат не бывает отрицателен. Кроме того, этот квадрат может быть равен нулю и соответствовать решению неравенства. Следовательно, можно перейти к совокупности:
Находим корни второго уравнения совокупности (используем четверть дискриминанта):
Поскольку старшая степень положительна, то функция левой части представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Положительная область лежит левее меньшего корня и правее большего. Следовательно, приходим к совокупности решений:
Оба неравенства решили, переходим к системе:
Пересекаем решения и получаем ответ:
Замечание
Для проверки построим графики функций (преобразуем исходные неравенства так, чтобы допустимые решения лежали выше или на оси абсцисс):
Как видим, оба графика лежат выше оси абсцисс на третьем интервале ответа, а в первых двух точках оба графика лежат на оси абсцисс, и тоже входят в ответ.