Ферма в 17 веке ввел понятия простых чисел первого и второго рода. В замечании Ферма, которое Сингх назвал изящным ни одно утверждение не доказывается, хотя утверждения приводятся. Так все простые числа подразделяются на числа, представимые в виде 4n + 1, и числа, представимые в виде 4n - 1, где n - некоторое целое число. У Ферма из рассмотрения выпало простое число 2. Простые числа, представимые в виде 4n + 1 он называет первой группой, а простые числа, представимые в виде 4n - 1, второй группой. Далее он формулирует утверждение, что простые числа первой группы всегда представимы в виде суммы двух квадратов, в то время как простые числа второй группы никогда в виде суммы двух квадратов не представимы. Это свойство простых чисел формулируется изящно и просто, но все попытки доказать, что им обладает любое простое число, наталкиваются на значительные трудности. Для Ферма это доказательство было всего лишь одним из многих доказательств, хранимых им "приватно", для Эйлера восстановить доказательство стало делом чести. В 1749 г., после семи лет работы и почти через сто лет после смерти Ферма, Эйлеру якобы удалось доказать эту теорему о простых числах. Кстати доказательство Эйлера этой теоремы о простых числах мы не нашли.
Можно предложить следующий алгоритм синтеза простых чисел , представимых в виде 4к + 1. Самое маленькое простое натуральное число, представимое в виде 4к + 1 есть 5. Следующее простое число, представимое в виде 4к + 1 получается добавлением числа 4 к 5 столько раз, пока не получится простое число. Таким простым числом будет число 13. Для получения следующего простого числа, представимого в виде 4к + 1 мы процесс добавления четверки до получения простого числа продолжаем. Таким образом, мы последовательно получаем простые числа, представимые в виде 4к + 1: 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, ... Мы в нашей работе "Проблема близнецов и другие бинарные проблемы" доказали, используя аксиому спуска [1], что все простые числа первого рода являются суммами двух квадратов.
Алгоритм синтеза простых чисел второго рода по классификации Ферма.
Самое маленькое простое число второго рода по классификации Ферма есть 3. Действительно, самое маленькое простое число, представимое в виде 4к - 1 получается при к = 1. Очевидно, это будет 3. Следующее простое число второго рода по классификации Ферма получается добавлением числа 4 к 3 столько раз, пока не получится простое число. Очевидно, таким простым числом второго рода по классификации Ферма будет число 7 и так далее процесс продолжается. Таким образом, мы получаем последовательно простые числа второго рода по классификации Ферма 3, 7, 11, 19, и так далее. Мы в нашей работе "Проблема близнецов и другие бинарные проблемы доказали, используя нашу аксиому спуска, что все простые числа второго рода по классификации Ферма никогда суммами двух квадратов не будут.
Теорема Для любого простого числа второго рода 4к - 1 найдется наименьший квадрат n, превышающий это простое число.
Доказательство. Первое простое число второго рода 4к - 1 получается при к = 1 это 3 . Очевидно, 3 < 4. Второе простое число второго рода 4к - 1 получается при к = 2 это 7. Очевидно, 7 < 9. Далее доказывается, используя аксиому спуска. Пусть для некоторого большого простого числа второго рода 4к - 1 квадрат n, превышающий 4к - 1 есть, а для следующего простого числа второго рода квадрата, превышающего это простое число второго рода нет. Тогда по аксиоме спуска и для предыдущего простого числа второго рода квадрата превышающего это предыдущее простое число второго рода нет, что противоречит нашему индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает теорему .
Согласно доказанной теореме, если 4к - 1 является простым числом второго рода по классификации Ферма, то существует наименьший квадрат n такой, что 4к - 1 - n < 0 . Следовательно, 4к - 1 не может быть суммой двух квадратов. Таким образом, мы построили не только алгоритмы синтеза простых чисел первого и второго рода по классификации Ферма, но и доказали их свойства, объявленные Ферма в его замечании.
Литература:
1. Кочкарев Б. С. " К методу спуска Ферма" Проблемы современной науки и образования problem of modern science and education" 2015 №11(41) с. 7-10