1. Введение
Парадокс Бертрана – проблема классического определения теории вероятностей. Жозеф Бертран описал парадокс в работе Calcul des probabilites (1888) в качестве примера того, что вероятность не может быть чётко определена, пока не определён механизм или метод выбора случайной величины.
Формулировка: равносторонний треугольник вписан в окружность, если хорда окружности выбрана случайно, какова вероятность что она длиннее стороны треугольника?
Хорда применительно к ситуации – это отрезок, соединяющий две точки окружности. Бертран предложил три решения дающих различный результат.
Решение 1. Метод «случайных концов».
Случайно выберем две точки на окружности и проведём через них хорду. Чтобы посчитать искомую вероятность, представим, что треугольник повёрнут так, что одна из его вершин совпадает с концом хорды. Заметим, что если другой конец хорды лежит на дуге между двумя другими вершинами треугольника, то длина хорды больше стороны треугольника. Длина рассмотренной дуги равна трети длины окружности, следуя классическому определению, искомая вероятность равна 1/3. Рис. 1.
Решение 2. Метод «случайного радиуса».
Зафиксируем радиус окружности, случайно выберем точку на радиусе. Построим хорду, перпендикулярную зафиксированному радиусу, проходящую через выбранную точку. Для нахождения искомой вероятности представим, что треугольник повёрнут так, что одна из его сторон перпендикулярна зафиксированному радиусу. Хорда длиннее стороны треугольника, если её центр ближе к центру, чем точка пересечения треугольника с зафиксированным радиусом. Сторона треугольника делит пополам радиус, следовательно, вероятность выбрать хорду длиннее стороны треугольника 1/2. Рис. 2.
Решение 3. Метод «случайного центра».
Выберем произвольную точку внутри круга и построим хорду с центром в выбранной точке. Хорда длиннее стороны равностороннего треугольника, если выбранная точка находится внутри круга, вписанного в треугольник. Площадь вписанного круга есть 1/4 от площади большего, значит, исходная вероятность равна 1/4. Рис. 3.
Выбор метода также может быть изображён следующим образом. Хорда однозначно задаётся её серединой. Все три метода, дают различное распределение середины. Методы 1 и 2 представляют два разных неравномерных распределения, в то время как третий метод даёт равномерное распределение. Но если посмотреть на изображения хорд ниже, то заметно, что хорды в методе 2 дают равномерно закрашенный круг, а 1-й и 3-й методы не дают такой картины. Таблица 1.
Таким образом, классическое решение проблемы зависит от метода, которым случайно выбрана хорда. Тогда и только тогда, когда метод случайного выбора задан, проблема имеет чётко определённое решение. Метод отбора не уникален, поэтому не может быть единственного решения. Три решения, представленные Бертраном, соответствуют различным методам отбора, и в отсутствие дополнительной информации, нет оснований предпочесть какой-либо один. Этот парадокс классического определения вероятности оправдывает более строгие формулировки, включающие частотные вероятности и субъективные Байесовские вероятности.
Эдвин Джейнс в своей работе 1973 года «Корректно поставленная проблема» предложил решение парадокса Бертрана, основанное на принципе неопределённости: мы не должны использовать информацию, которая не дана в условии. Джейнс указал, что проблема Бертрана не задаёт положение или размер круга, и утверждал, что в таком случае любые точные и объективные решения должны быть «безразличны» к размеру и положению. Иными словами, решение должно быть инвариантно к размерам и трансформациям.
Для иллюстрации: допустим, хорды случайно лежат в круге с диаметром 2,0 у.е. Затем другой круг с меньшим диаметром (например, 1,1 у.е.) накладывается на больший. Теперь распределение хорд в меньшем круге должно быть таким же, как и в большем. Если перемещать меньший круг по большему, вероятность не должна меняться. Это должно быть наглядно выражено в случае изменений в методе 3: распределение хорд в маленьком круге может выглядеть качественно другим, нежели их распределение в большом круге. Рис. 4.
Та же ситуация с методом 1, хотя она более сложна в графическом изображении. Только метод 2 инвариантен как размерно, так и трансформационно, метод 3 имеет только размерную инвариантность, метод 1 – ни одной.
Джейнс использовал не только инвариантность для принятия или отвержения методов: это означало бы то же самое, что оставить возможность существования ещё не описанного метода, отвечающего критериям здравого смысла. Джейнс использовал интегральные уравнения, описывая инвариантность, для точного определения вероятности распределения. Для данной задачи интегральные равенства действительно имеют единственное решение – метод 2 («случайного радиуса»).
Мы считаем, что нашли тот самый, еще не описанный метод случайного определения хорды, соответствующий критериям здравого смысла и снимающий выше описанные проблемы. Прежде чем описать его суть разберем недостатки уже приведенных методов.
2. Критика ранее предложенных методов
На наш взгляд каждый из выше приведенных методов решения вносит дополнительное условие, не опирающееся на исходную формулировку.
Формулировка условия: равносторонний треугольник вписан в окружность, если хорда окружности выбрана случайно, какова вероятность что она длиннее стороны треугольника?
Метод «случайных концов» предлагает случайно выбрать две точки на окружности (рис. 1) никак не обосновывая, почему пространство выбора ограничено только внешним контуром окружности. Это дополнительно ограничение ведет к тому, что получение хорды любой длины становится равновероятным. Однако если случайно распределить точки внутри окружности, то эта искусственно привнесенная равнозначность вероятностей разрушается. Этот делает результаты метода «случайных концов» (вероятность равна 1/3) в том виде как он приведен во введении бессмысленным относительно исходного условия.
Метод «случайного радиуса» предлагает случайно выбрать точку на радиусе и построить хорду перпендикулярно данному радиусу. Точка пересечения радиуса стороной вписанного треугольника делит его пополам и если точка, через которую провели хорду, находится ближе к центру окружности, то хорда длиннее стороны треугольника, иначе – короче (рис. 2).
Эти утверждения верны, но неверно принимать вероятность попадания точки внутри окружности на ближнюю и дальнюю (от центра) половину радиуса равной 1/2.
Меньшая окружность, очевидно, является вписанной в треугольник, который вписан в большую окружность (как на рис. 3). Ее радиус в два раза меньше радиуса большой окружности (Ок=ОК/2) и, следовательно, его площадь в 4 раза меньше (S=2πr). Рис. 5.
Площадь оранжевого круга равна 1/4 от площади большого круга, площадь фигуры закрашенной желтым цветом равна соответственно 3/4 от площади большого круга. При равномерном распределении точек внутри большой окружности вероятность попадания точки в оранжевую область будет 25%, желтую 75%. Следовательно, вероятность нахождения случайной точки на ближней или дальней (от центра окружности) половине радиуса не равна 1/2.
Более того, условие проведения хорды через точку таким образом, чтобы точка располагалась в ее середине избыточно и не имеет прямого отношения к условию задачи. Через любую точку в окружности можно провести бесконечное количество хорд. При этом известно, что если хорда, проведенная через точку, делится ей пополам, то длина такой хорды наименьшая из возможных вариантов.
Метод «случайного центра» предлагает выбрать произвольную точку внутри круга и построить хорду с центром в выбранной точке (рис. 3). Хорда длиннее стороны равностороннего треугольника, если выбранная точка находится внутри круга, вписанного в треугольник. Площадь вписанного круга есть 1/4 от площади большего, значит, исходная вероятность равна 25%. Построение хорды таким образом, что бы ее центр был в выбранной точке, также является избыточным требованием не связанным с условиями задачи. Если отбросить его, то легко представить хорду длиннее стороны вписанного треугольника проходящую через точку за пределами вписанной в треугольник окружности (меньшей окружности). Рис. 6.
Точка D очевидно лежит за пределами вписанной в треугольник окружности (сам треугольник на рис. 6 не изображен, см. рис. 3). При этом хорда BA явно пересекает данную окружность и может быть представлена как хорда, проведенная через точку F с выполнением условия разделения данной точкой ее пополам и, следовательно, согласно методу «случайного центра» хорда ВА длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника.
Через точку D и через точку F можно провести бесконечное количество хорд. При этом любая хорда, проведенная через точку F, даже не соответствующая требованию метода «случайного центра», например, хорда VW, будет длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника, так как F лежит внутри вписанной в равносторонний треугольник окружности (см. рис. 6).
Через точку D можно провести хорду, которая будет иметь как большую, так и меньшую длину, чем сторона вписанного равностороннего треугольника. Длина хорды будет меньше стороны равностороннего треугольника при условии, что она не пересекает вписанную в данный треугольник окружность.
Частота встречаемости точек типа F составляет 25%, точек типа D – 75% в связи с чем, общая вероятность того, что случайная хорда будет длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника, превышает 25% при игнорировании искусственного правила обязательного нахождения случайно полученной точки в центре хорды.
3. Описание универсального метода построения случайных хорд и расчет вероятности получить случайную хорду длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника
Искусственные ограничения, замеченные нами в классических методах расчета вероятности, разобранные выше, связаны с удобством и простотой подсчета. Фактически парадокс несоответствия результатов разных методов подсчета связан с тем, что данные методы подсчитывали вероятности разных событий. Мы согласны с идеей Эдвина Джейнса о недопустимости использования информации, которая не дана в условии (см. первый раздел), поэтому все приведенные выше способы неприемлемы. В этом разделе мы предлагаем метод, который снимает все противоречия, но при этом более сложен для расчетов.
Как мы уже отмечали во втором разделе, в условиях задачи нет основании для выбора случайных точек по периметру окружности – в распределении случайных точек участвует вся площадь окружности, а их распределение (при достаточно большом количестве повторов) будет равномерным на любом выбранном участке. Также нет оснований для ограничения возможного направления хорды проведенной через данную точку (так как имеется бесконечное количество вариантов проведения хорды через точку). Кажется, что математический аппарат для работы с бесконечным набором точек (бесконечное количество мест, куда случайная точка может попасть) через каждую из которых можно провести бесконечное число хорд (направление которых ничем не ограничено) будет крайне перегружен. Но именно таким образом можно соблюсти заданные условия, не вводить дополнительные правила и ограничения, а также удовлетворить идеи Джейнса о решении инвариантном к размерам и трансформациям (см. первый раздел).
В конце прошлого раздела мы определились, что вероятность для случайной точки оказаться внутри вписанного в равносторонний треугольник круга составляет 25% и это гарантированный минимум хорд длиннее стороны вписанного в больший круг равностороннего треугольника (рис. 7.1).
Рассмотрим иные варианты попадания точек. Точка А (рис. 7.2) расположена на периметре меньшей окружности, любая хорда проведенная через нее будет длиннее стороны вписанного треугольника, за исключением единственной – касательной к меньшей окружности, равной по длине стороне вписанного треугольника.
Точка В (рис. 7.3) расположена вне пределов меньшей окружности, через нее возможно проведение как хорд меньшей, так и хорд большей длины чем сторона вписанного треугольника. При этом любая хорда, расположенная между двумя касательными (LM и KN), будет короче стороны вписанного треугольника, а любая хорда вне пределов этого диапазона будет длиннее стороны вписанного треугольника.
При дальнейшем удалении случайной точки от точки Z (центра обеих окружностей) – точка С и точка D (рис. 7.4), отмечается сужение области через которую можно провести хорды длиннее стороны вписанного треугольника.
Через точку С можно провести бесконечное количество хорд (в любом направлении на 360 градусов), при большом количестве повторений единственное от чего будет зависеть вероятность случайной хорды проведенной через точку С быть длиннее стороны вписанного треугольника это доля, которую углы KCM и LCN занимают от 360 градусов. Углы KCM и LCN равны, следовательно, достаточно определить один из них.
Обратимся к рисунку 8.
Определим вероятность того, что случайная хорда проведенная через точку А будет длиннее стороны вписанного треугольника. Данная вероятность равна (угол ЕАС*2)/360.
Проведем прямую из точки А в точку В, данная прямая будет делить угол ЕАС пополам (угол ЕАВ равен углу ВАС). Проведем через точку А касательные (желтым цветом) к меньшей окружности. По свойствам касательных (касательная перпендикулярна радиусу окружности, проведенному в точку касания) угол АСВ прямой. ВС радиус меньшей окружности, ВК радиус большей окружности, учитывая, что ВК в два раза больше ВС: СК = ВС = радиус меньшей окружности. ВК гипотенуза треугольника АВК (за исключением случая, когда точка А лежит на периметре большей окружности, в таком случае треугольника АВК будет равносторонним, что не нарушит последующие расчеты).
Сторона АС общая для треугольников АВС и АСК, ВС = СК, угол АСВ прямой следовательно угол АСК прямой, следовательно треугольник АВК равнобедренный, следовательно АВ = АК.
По свойствам равнобедренного треугольника высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами (угол ВАК), являются одним и тем же отрезком (АС), следовательно, угол САК равен углу ВАС и как ранее указывалось углу ЕАВ, следовательно, искомый угол ЕАС равен углу ВАК. По свойствам равнобедренного треугольника сторона АС равна АВ*cos((угла АВК)/2) следовательно соs((угла АВК)/2)=АС/АВ. При этом по теореме Пифагора АС = корень квадратный из (АВ в квадрате -ВС в квадрате).
АВ = АК = (радиус меньшей окружности + АН). Именно от изменения АН (расстояние от периметра меньшей окружности) зависит каким будет угол ЕАС.
Исходя из этого имеем:
1. вероятность что случайная хорда проведенная через точку в пределах вписанной окружности будет длиннее стороны вписанного треугольника - 100%, доля таких точек при случайном распределении - 25%;
2. вероятность что случайная хорда проведенная через точку за пределами вписанной окружности будет длиннее стороны вписанного треугольника зависит от удаленности данной точки от стороны вписанной окружности (чем дальше тем меньше, в нашем примере отрезок АН), количество таких точек - 75%;
3. вероятность нахождения случайной точки за пределами вписанной окружности составляет 75%, но с учетом равномерного их распределения по объему, доля точек для заданного расстояния АН тем выше, чем больше АН. (Для понимания можно вновь рассмотреть рис. 5, окружность можно разделить не на две области, а на большее количество слоев, вероятность точки оказаться в том или ином слое при равномерном распределении будет зависеть только от того какую долю площадь данного слоя занимает от площади большей окружности, а площадь слоя при прочих равных будет зависеть от его удаленности от центра окружности - точки О).
С учетом этих положений нами проведен расчет вероятности для случайной хорды (случайно проведенной через случайно выбранную точку), она составляется 60,9% (при округлении до десятых).
4. Выводы
1. Предложенное нами решение, в отличие от классических, опирается только на условие задачи без введения дополнительных ограничений и является единственным вариантом, полностью удовлетворяющим условию. Т.е. предложенный метод поиска случайных хорд уникален и является единственным решением.
2. Предложенное нами решение инвариантно к размерам и трансформациям. Т.е. с учетом первого пункта соответствует требованиям к решению, высказанным Эдвином Джейнсом.
3. Предложенное нами решение дает ответ отличный от всех ранее приведенных.
Для связи с автором можно использовать комментарии, а также почту Bertrand-paradox@yandex.ru