Андрей Васильевич родился 8 июля 1938 года в Ленинграде в семье ученых и технарей, так что выбрать профессию ему не дали, отправили продолжать династию в Ленинградский химико-технологический институт. Институт он окончил, но во время учебы гораздо больше увлекался студенческим театром, чем наукой. На сцене этого театра его и заметил педагог Школы-студии МХАТ и предложил прийти к ним на прослушивание. Поступил он легко, а сразу после окончания Андрея пригласили в «Современник». Именно там молодого Мягкова заметил великий Элем Климов и дал ему роль в картине «Похождения зубного врача». Так началась его кинокарьера.
Андрей Мягков вошел в историю кино ролями двух милых, мягких (под стать фамилии актера) мужчин тридцати с чем-то лет: Лукашина в «Иронии судьбы» и Новосельцева в «Служебном романе». Безусловно, Эльдар Рязанов стал главным режиссером в его жизни - он еще дал ему возможность сыграть немого лаборанта Хвостова в «Гараже» и Карандышева в «Жестоком романсе», - но Мягков мог играть кого угодно и где угодно. Алёшу Карамазова в «Братьях Карамазовых», полковника белой гвардии в «Днях Турбиных», Аркадия Гайдара в «Серебряных трубах», молодого Ленина в «Надежде», ученого-плагиатчика в «Страхе высоты», следователя Тихонова в «Гонках по вертикали» и тд. Его фильмография насчитывает около 50 запоминающихся образов, которые актер воплотил на экране. Последние 10 лет он отказывался от новых ролей, так как был недоволен сценариями и уровнем российского кинематографа.
Помимо съемок в кино и службы в театре, Андрей Васильевич увлекался портретной живописью и писал захватывающие детективные романы. Андрея Мягкова не стало в ночь на 18 февраля 2021 года. Кумир миллионов скончался в возрасте 82 лет у себя дома, в Москве. Ему стало плохо, и родные вызвали неотложку. Прибывшие медики пытались реанимировать актера, но не смогли. Причиной смерти стала острая сердечная недостаточность.