Меня восхищает, что такая ерунда вызывает столько споров. Мир учителей раскололся на три лагеря: сектанты-фанатики ОДЗ, непримиримые ненавистники ОДЗ, и люди с попкорном. Вещаю с позиции последних.
Что такое ОДЗ?
ОДЗ – это «область допустимых значений (переменной х)», то есть множество всех возможных значений икса, при которых заданное выражение имеет смысл. Используется при решении уравнений и неравенств.
Можно ли жить без ОДЗ?
Логически уравнения и неравенства можно решать двумя способами: равносильными переходами (тогда ограничения на х сохраняются каждый переход, условия не теряются) и неравносильными переходами – следствиями (тогда мы теряем условия и надо их отдельно прописывать в самом начале решения). В первом случае ОДЗ писать бессмысленно, во втором – необходимо.
В примере слева возвели обе части равенства в квадрат и никаких условий не потеряли: да, икс должен быть неотрицательным, чтобы извлекать из него корень, ну так он равен четырём, а это неотрицательное число. Нужно ли здесь писать условие «x>0»? Не жалко чернил – пишите, но это условие учлось автоматически.
В примере справа вроде бы сделали то же самое – возвели обе части в квадрат, но ответ получили неверный: при подстановке в исходное уравнение видим, что нужно извлечь корень из -3, что делать нельзя в школьной программе. Нужно было писать ОДЗ.
Одну и ту же задачу можно решить двумя способами.
Когда лучше без ОДЗ?
В некоторых задачах один способ рациональнее другого. В следующем примере лучше воспользоваться равносильными переходами.
Попытка проанализировать ОДЗ даёт нам неравенство, которое в разы труднее, чем вся исходная задача. Велик риск сделать типичную ошибку, забыв, что правая часть уравнения неотрицательна, потому что равна какому-то квадратному корню. При таком решении получаются лишние значения икса, и единственный способ от них избавиться – подставлять каждое в исходное уравнение и проверять, подходит ли.
В равносильных переходах нет проблемы с трудным неравенством. Мы пишем, что подкоренное выражение равно какому-то квадрату, квадраты всегда неотрицательны, а значит и подкоренное выражение неотрицательно. ОДЗ учлось автоматически, анализировать его не нужно.
В ЕГЭ 2020 подобрали такое неравенство, в котором сочетание ОДЗ и метода интервалов приводило к принципиальной ошибке, за которую нещадно срезали баллы. У меня об этой задаче есть отдельная статья.
А когда лучше с ОДЗ?
Есть и обратные примеры, когда с ОДЗ решать проще: записали условия на ОДЗ в самом начале и не вспоминаем про них по ходу решения. Честные равносильные переходы долго записывать, получатся огромные системы. Такие задачи есть в ЕГЭ. Например, в этом видеоуроке я решаю тригонометрическое уравнение с ОДЗ, чтобы не заморачиваться с большой системой. А в этом видеоуроке решаю задание с параметром, начиная с ОДЗ, иначе могла потерять важное условие.
Как репетитор я чаще даю ученикам алгоритм с ОДЗ. Мой опыт показывает, что его объяснить проще, чем научить правильно составлять систему и отслеживать равносильность.
Говорят, на ЕГЭ ставят ноль баллов за использование ОДЗ!
Есть такой забавный слух. Ященко весной 2020 провёл вебинар (вот его тезисы), где его спрашивали про ОДЗ. Ответ был однозначный: можно пользоваться любым математически корректным методом решения, и ОДЗ математически корректно.
Я нашла версию, что слух про запрет ОДЗ пошёл с вебинара Трушкиной Т.П., методиста из Кемеровской области. Она эмоционально критиковала метод решения с ОДЗ, аргументируя тем, что ученики не понимают смысла понятия и делают в нём ошибки. Ну, знаете ли, а некоторые ученики не помнят таблицу умножения, давайте теперь всюду умножение заменим сложением.
Ноль баллов не поставят, если ОДЗ записано верно. Ловушка именно в этом. Стоит записать под аббревиатуру ОДЗ лишнее или забыть одно условие – ноль баллов будет заслуженной оценкой.
Заповеди ОДЗ
Об этом подробнее я рассказываю и разбираю на примерах в видеоуроке.
1. Не дели на ноль
2. Не извлекай корень чётной степени из отрицательных чисел
3. Если в условии есть тангенс или котангенс, то он должен существовать
4. Если в условии есть логарифм, то его основание положительно и не равно единице, а логарифмируемое выражение положительно
5*. Не возводи отрицательные числа в вещественную степень
Рекомендую запомнить этот список и каждый раз, решая задание с ОДЗ, мысленно проходить его целиком.
Важно не написать в ОДЗ лишнего. На примере задачи, которую я приводила выше:
Что пишут в учебниках?
Слово Мордковичу:
Советую почитать этот учебник преподавателям, у которых есть сомнения. Там про равносильность и следствия написано хорошо и подробно.
Причём синонимичный термин «область определения уравнения» используется в учебниках с 9 класса (несколько цитат в галерее ниже).
Ученик 11 класса с углублённым изучением математики такие вещи должен знать. Предполагается, что только такие ученики сдают профильную математику. В реальности же ученики часто узнают термин ОДЗ вне всего этого контекста, из пособий или от репетиторов. Призываю коллег не давать бездумные алгоритмы, а объяснять тему!
В следующей статье я разобрала доводы фанатов и противников ОДЗ. Здесь – объективные факты, там – эмоции.
А ещё на моём канале можно посмотреть:
Большая подборка видеоуроков по ЕГЭ
Статья о 5 уровнях подготовки к ЕГЭ
Несправедливый ЕГЭ. Как отличались варианты регионов
Большое расследование о том, как решать неравенство из ЕГЭ 2020
Подборка ошибок учеников по алгебре, по геометрии
Начать готовиться к ЕГЭ 2021 можно на моём онлайн-курсе.
Подписывайтесь, если вам интересна аналитика ЕГЭ.