Проблема простых чисел интересует человечество уже несколько тысячелетий. Наибольшую известность она получила благодаря гипотезе Римана, изложенной Бернхардом Риманом в 1859 г. в его работе «О числе простых чисел, не превышающих данной величины».
С тех пор предпринимались неоднократные попытки доказать гипотезу Римана и тем самым решить проблему точного подсчёта простых чисел в произвольном множестве натуральных чисел. На сегодняшний день (2020 от РХ) гипотеза Римана не доказана. Она по-прежнему остаётся одной из семи нерешённых задач тысячелетия. В данной статье приведено описание способа подсчёта простых чисел в произвольном множестве натуральных целых чисел. И поэтому в качестве её названия предложен парафраз знаменитой работы Римана. Однако анонсируемое решение никак не связано с матаппаратом комплексных чисел гипотезы Римана и инструментарием дифференциального счисления, к которому обычно прибегают профессиональные математики, решая подобные задачи. Весь набор инструментов, используемых в рассматриваемом методе, не выходит за рамки школьной алгебры. Что не умаляет конечный результат и позволяет утверждать, что найденная закономерность распределения простых чисел в произвольном множестве целых чисел позволяет вычислять количество этих простых чисел, не прибегая к прямому счёту. Ниже приводится формальное обоснование предлагаемого решения и методика подсчёта количества простых чисел для произвольного множества натуральных целых чисел.
Сначала немного теории.
Мощность N любого множества натуральных целых чисел, ограниченного произвольным значением n, равна этому значению n.
N(n) = n (1)
Мощность M любого множества нечётных чисел, принадлежащих произвольному множеству целых чисел N, равна половине его мощности.
M(n) = n / 2 если n чётное (2а)
M(n) = (n + 1) / 2 если n нечётное (2б)
В то же время, мощность произвольного множества нечётных чисел M можно представить в виде суммы мощностей двух его подмножеств.
M(n) = P(n) + E(n) (3)
где P(n) - множество простых чисел,
E(n) – множество составных нечётных чисел.
Исходя из этого, мощность множества простых чисел P, ограниченного произвольным числом n можно представить в виде разности между мощностью множества нечётных чисел M и мощностью его подмножества нечётных составных чисел E.
P(n) = M(n) – E(n) (4)
Таким образом, задачу подсчёта количества простых чисел в произвольном множестве натуральных чисел можно свести к подсчёту нечётных составных чисел в этом же множестве натуральных чисел. Как известно, иногда обратная задача имеет более простое решение, чем прямая. В данном случае решение обратной задачи может оказаться более простым в силу того, что множество нечётных составных чисел любой мощности по определению является структурированным, так как каждое нечётное составное число это всегда произведение двух других нечётных чисел.
После короткой теоретической вводной переходим к практическим расчётам.
Как уже было отмечено выше любое нечётное составное число представляет собой произведение двух других нечётных чисел. Это утверждение можно проиллюстрировать с помощью таблицы нечётных составных чисел, каждый элемент которой равен произведению двух нечётных чисел, расположенных соответственно в первом столбце и первой строке этой таблицы. Такая таблица абсолютно симметрична относительно своей нисходящей диагонали, поэтому вполне допустимо рассматривать только нижнюю левую часть таблицы.
Замечательным свойством представленной таблицы является то, что любая нисходящая диагональ этой таблицы может быть описана классическим квадратным уравнением вида:
Например, для первых трёх диагоналей эти квадратные уравнения имеют следующий вид:
где х – номер строки таблицы для соответствующей ячейки диагонали (0,1,2,3..).
Транспонирование диагоналей таблицы нечётных составных чисел в столбцы стандартной прямоугольной таблицы позволяет привести такую таблицу к более удобному виду.
Каждый столбец этой таблицы соответствует диагонали исходной таблицы нечётных составных чисел. Ячейки транспонированной таблицы по-прежнему содержат нечётные составные числа, каждое из которых описывается квадратным уравнением:
Строки таблицы содержат дубликатные значения (на рисунке выделены красным цветом). Это обусловлено тем, что разные нечётные сомножители могут давать одинаковый результат (например, 5*9=45 и 15*3=45). Расположение дубликатных значений в строках таблицы подчинено определённой закономерности. Если все строки таблицы разбить на тройки, то каждая первая строка из тройки состоит только из дубликатных значений, каждая вторая и третья строки содержат дубликатные значения в каждой третьей ячейке начиная с третьего и второго столбца, соответственно. Строка с номер 0 содержит первоначальное множество нечётных составных чисел. Это множество совместно с уникальными значениями из остальных строк таблицы представляет собой искомое подмножество нечётных составных чисел Е из множества нечётных чисел М для бесконечного множества натуральных чисел N.
Количество нечётных составных чисел, ограниченных произвольным числом n, в любой строке транспонированной таблицы определяется уравнением вида:
4x + x(4i + 12) + 6i + 9 (8)
Транспонированная таблица нечётных составных чисел позволяет вычислять количество нечётных составных чисел Е(n) для произвольного натурального числа n с помощью следующего алгоритма:
Исходное состояние:
Шаг 1. Вычисляем количество первоначальных нечётных составных чисел для нулевой строки:
E = 1 + (n – 9) / 6
Если результат вычисления меньше или равен нулю, завершаем алгоритм. Нечётных составных чисел для этого n нет.
Шаг 2. Увеличиваем nX на единицу (nX = nX + 1). Если nX больше двух, обнуляем переменную (nX = 0). Такие манипуляции с переменной nX необходимы для того, чтобы на следующем шаге пропустить все строки таблицы с номерами кратными трём, т.к. они не содержат уникальных нечётных составных чисел.
Шаг 3. Переходим к следующей строке (r = r + 1). Для всех nX больше нуля проверяем, если значение ячейки (r, 0) больше n завершаем алгоритм, если значение ячейки (r, 0) равно n увеличиваем E на единицу и завершаем алгоритм, иначе вычисляем количество уникальных нечётных составных чисел в текущей строке таблицы для указанного n и добавляем их к первоначальному множеству нечётных составных чисел:
Шаг 4. Возвращаемся на шаг 2.
Примечание. Все нецелочисленные результаты деления в предложенном алгоритме округляются до ближайшего меньшего целого.
По завершению описанного алгоритма E содержит количество нечётных составных чисел в подмножестве нечётных чисел M(n). Окончательное выражение для определения мощности P множества простых чисел, ограниченного произвольным значением n, имеет вид:
Выражения (8a) и (8b) позволяют определить количество простых чисел для произвольного множества целых чисел как разность между половиной мощности этого множества и количеством нечётных составных чисел, принадлежащих этому множеству.
Ниже представлен ряд натуральных чисел, для которых подсчитано количество простых чисел с помощью рассмотренного алгоритма.
Вместо эпилога немного цифровой эстетики для настоящих математических гурманов.
Любое нечётное число можно представить в виде факториала:
где N - множество натуральных целых чисел, ni – произвольное натуральное число от нуля до бесконечности. Представляете, какая мощь скрыта в любом нечётном числе! Ведь каждый такой факториал включает в себя всё множество натуральных чисел. В практической работе использовать полное название "степенной факториал нечётных чисел" не очень удобно, поэтому дадим ему более короткое название, например такое – зет-факториал (z!).
Для любого простого числа сумма показателей степеней в зет-факториале всегда равна единице ( ∑ni = 1). Например:
В свою очередь, все нечётные составные числа могут быть представлены в виде зет-факториалов, сумма показателей степеней сомножителей которых больше единицы.
Помните, как там, у классика – «Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную ½». Немного перефразируем это утверждение, что бы оно из недоказанной и таинственной гипотезы превратилось в банальную и скучную аксиому – «Все показатели степеней зет-факториала простого числа имеют сумму, равную 1».
PS Наверняка множество нечётных чисел обладает и другими выдающимися свойствами. Чтобы найти эти свойства совсем необязательно быть профессиональным математиком, достаточно просто заинтересоваться этой проблемой.