Точки О₁, О₂, О₃ — центры описанных окружностей четырехугольника KLMN и △O₁KN, △O₁KM соответственно. Известно, что точка O₁ не лежит на диагоналях KLMN.
Докажите, что если точка O₂ лежит на KM, то и точка О₃ лежит на LN.
Указания к решению
Пусть точка С — пересечение диагоналей KLMN.
1) Прямая LN — радикальная ось окружностей с центрами в точках О₁ и О₂. Значит, О₁О₂ и LN перпендикулярны. Кстати, О₁О₂ — серединный перпендикуляр к LN, но в этой задаче это неважно.
2) Аналогично прямая KM — радикальная ось окружностей с центрами в точках О₁ и О₃. Значит, О₁О₃ и KM перпендикулярны.
3) Прямая О₁C — радикальная ось окружностей с центрами в точках О₂ и О₃. Значит, О₂О₃ и О₁C перпендикулярны.
4) Точка С — ортоцентр △O₁О₂О₃. Точка О₃ обязана лежать на LN.
Примечания. Обратите внимание, что в этой задаче фигурируют три окружности, однако изображать их на рисунке не стоит. Чертеж усложнится, а перпендикулярность соответствующих прямых и так отлично видно. По этой же причине не надо обводить △O₁О₂О₃. Если требуется обосновать, почему «Точка О₃ обязана лежать на LN», рассуждения лучше привести на отдельном чертеже.