Геометрия знает немало нерешаемых задач на построение циркулем и линейкой. Одна из таких задач – построить отрезок равный длине окружности произвольного диаметра. Или как говорят профессионалы – развернуть окружность. Ниже рассматривается алгоритм построения такого отрезка с помощью циркуля и линейки без делений.
Итак, строим окружность с произвольным диаметром D на пересечении осей ОХ и OY.
Строим хорду |AB| в любой четверти окружности на её пересечении с осями ОХ и OY. Например, вот так.
Делим хорду пополам и проводим через её середину радиус.
В точке пересечения с хордой радиус поделён на два неравных отрезка. Меньший отрезок обозначим буквой d. После этого всё необходимое для построения отрезка с длиной равной длине окружности у нас имеется. Откладываем три диаметра окружности на произвольной прямой и дополняем их отрезком d. Полученный результирующий отрезок 3D+d это и есть развёртка окружности с произвольным диаметром D.
Предлагаемый метод определения длины окружности даёт погрешность относительно аналитического расчёта длины окружности через Пи примерно 0,15 % для окружностей любого диаметра. Например, для окружности с диаметром один метр эта ошибка составит 1,5 миллиметра. Такая стабильная погрешность, скорее всего, свидетельствует о наличии методической ошибки в предлагаемом алгоритме. Однако найти причину этой ошибки автор не смог. Описываемый метод имеет ещё одно замечательное свойство – он позволяет вычислить найденную в результате геометрического построения длину окружности аналитически. Для этого достаточно воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины гипотенузы в прямоугольном треугольнике.
В общем виде зависимость длины окружности от её радиуса теперь можно описать следующей формулой:
Помните русскую пословицу – семь раз отмерь, один раз отрежь? Похоже, авторы этой пословицы что-то знали про рассматриваемый нами алгоритм. Проведя несложные преобразования, в конце концов, мы получим знакомую нам формулу связывающую длину окружности с её диаметром.
К сожалению, полностью избавиться от иррациональных чисел в формуле вычисления длины окружности нам не удалось. На смену Пи пришёл корень квадратный из двух, который также является иррациональным числом. Жаль! Тем не менее, численное значение нашего сомножителя существенно отличается от известной на сегодняшний день величины Пи.
Отношение найденного в результате геометрического построения сомножителя к Пи составляет величину чуть-чуть больше единицы.
Полученный коэффициент позволяет вычислять Пи через корень квадратный из двух и, по сути, связывает эти два иррациональных числа. При этом остаётся открытым вопрос - что первичней Пи или корень квадратный из двух? С моей точки зрения корень из двух будет всё-таки пофундаментальнее. Поэтому логичнее находить Пи через корень из двух, а не наоборот. А теперь внимание! Наверняка вы слышали такую поговорку – дьявол кроется в деталях. Вот вам буквальное подтверждение этого афоризма. При вычислении Пи через корень квадратный из двух, совершенно случайно, получается вот такая дробь:
Будем относиться к этому, как к проявлению своеобразного чувства юмора у царицы наук - математики при обращении с иррациональными числами.
Дальнейшее исследование нашего алгоритма было направлено на изучение сходимости результатов аналитического и геометрического методов определения длины окружности. Для этого была построена таблица, в которой вычислялись длины окружностей с диаметрами от 1 до 5 для разных значений Пи. Полученные результаты сравнивались с длинами тех же окружностей, найденных геометрическим методом (последняя строка таблицы). Расхождение результатов двух методов в процентах (%) зафиксировано в последнем столбце таблицы.
Из представленных данных видно, что при увеличении точности числа Пи (количества знаков после запятой), погрешность до какого-то значения Пи уменьшается, а затем начинает медленно расти. При этом нулевое значение погрешности находится далеко в стороне от истинного значения числа Пи, на расстоянии всё той же методической погрешности в 0,15%. Такие результаты наводят на крамольные мысли о неверных аналитических методах вычисления числа Пи, основанных на аппроксимации окружности через вписанные и описанные многоугольники. А что по этому поводу думаете вы, уважаемые читатели? Могли учёные нескольких поколений ошибаться при вычислении длины окружности? Или рассмотренное геометрическое решение всё-таки не безукоризненно и скрывает в себе методическую ошибку?