Эта статья для тех, кто хочет познакомиться с биномом Ньютона, и для тех, кто любит необычные способы запоминания формул.
Что же такое бином Ньютона? Если открыть Википедию:
С первого взгляда формула выглядит не очень понятно и даже немного пугает, но на самом деле, все намного проще, чем кажется =). Все ведь помнят формулы сокращенного умножения из 7-го класса? Они тоже здесь зашифрованы. Мы не будем разбирать и доказывать эту формулу в данной статье, а рассмотрим легкий способ формирования формулы для нужной степени.
Для этого нам понадобится треугольник Паскаля. Строится он следующим образом: в нулевой строке пишется 1, в первой - две 1. Далее треугольник расширяется, при этом, сбоку всегда остается 1, а в середину записываются коэффициенты, полученные сложением соседних чисел предыдущей строки.
Эти коэффициенты будут стоять перед буквенной частью. Таким образом, если надо возвести сумму двух слагаемых в третью степень, смотрим строку с номером 3 и берем коэффициенты 1 3 3 1.
А как формируется буквенная часть новых слагаемых? Тут тоже все довольно просто - максимальная степень будет та, в которую мы возводим данную сумму. Теперь у первого слагаемого понижаем степень, а у второго, наоборот, повышаем.
Продолжая пример с третей степенью:
Надеюсь все увидели, что а ⁰=1 и b ⁰=1. Также а ¹ и b ¹ можно записывать без степени.
Теперь объединяя все с коэффициентами из треугольника Паскаля, получаем:
Умножение на 1 ничего не меняет, поэтому в итоге имеем ту самую формулу 7-го класса.
Так что если у вас были проблемы с ее запоминанием, попробуйте этот способ. С возведением суммы двух слагаемых в квадрат, тот же принцип (да и с любой другой степенью тоже). А если необходимо возвести разность, то чередуйте знаки + и -.
Разберем пример посложнее, например, (m-n) ⁵ .
Теперь попробуйте сами: